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1、一、含参量正常积分的定义,二、含参量正常积分的连续性,三、含参量正常积分的可微性,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,数学分析 第十九章含参量积分,*点击以上标题可直接前往对应内容,四、含参量正常积分的可积性,五、例题,一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量,二元函数.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,含参量正常积分的定义,例题,可积性,倘若这时,后退 前进 目录 退出,则其积分值,设是定义在矩形区域上的 定义在上以 y 为自变量的一元函数.,其中c (x),
2、d (x),1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上的二元函数,上可积,作为 y 的函数在闭区间,则其积分值,其中c (x), d (x)1 含参量正常积分定义连续性,或简称为含参量积分.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,用积分形式(1) 和 (2) 所定义的这函数 与通称为定义在,含参量正常积分的连续性,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续,在 a , b上连续.,则函数,含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性,就有,于是,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,从而一致连续.,只要,由于
3、在有界闭区域 R上连续, 就有 于是证 设 对充分小,在c ,d 上连续.,所以由(3), (4)可得,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则含参,即 I (x) 在 上连续.同理可证: 若在矩形区域 R上连,都有,这个结论表明, 定义在矩形区域上的连续函数, 其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,为任意区间.,注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件,注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则对任何,若在矩形区域 R 上连续,都有 这个结论表明, 定义在矩形区,1 含参量正常积分,定义,连续
4、性,可微性,例题,可积性,证 对积分(6)用换元积分法,则函数,令,定理19.2（ 的连续性）若,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数 F(x) 在a, b连续.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,当 y 在c (x)与d (x)之间取值时, t 在 0, 1 上取值, 且,由定理19.1得积分,所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续, (6,含参量正常积分的可微性,上连续,则函数,且,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,含参量正常积分的可微性 定理19.3（,间的端点, 就讨论单侧导数),(从而一致连续),就有,1 含参
5、量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则,只要,对,证 对于 内任意一点x, 设(若 x为区间的端点, 就讨论,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,因此,这就证明了对一切 有1 含参量正常积分定义连续性可微性,可微函数,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则函数,且,定理19.4（ 的可微性）c (,证 把 F(x) 看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,有,证 把 F(x) 看作复合函数: 由复合函数求导法则及变,注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.
6、4,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续，,注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.4其,由定理19.1与定理19.2推得:,含参量正常积分的可积性,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,由定理19.1与定理19.2推得: 定理19.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作,与,求积顺序相反.,它们统称为累次积分.,后者则表示,求积顺序不同的积分:,与,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起,则,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,定理19
7、.6则 1 含参量正常积分定义连续,证 记,其中,对于,则有,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,证 记 其中对于 则有1 含参量正常积分,由定理19.3,故得,即得,当 时,取 就得到所要证明的(8)式.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,由定理19.3, 故得 因此对一切 有 即得当,例题,解 记,由于,例1 求,都是 a 和 x 的连续函数,I (a) 在 处连续,所以,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,由定理19.2 已知,例题解 记由于 例1 求 都是 a 和 x 的连续函数,令,上连续,上连续.,1 含参量正常积分,定
8、义,连续性,可微性,例题,可积性,从,例2 讨论函数的连续性.解 易见的定义域为令上连续, 而在上,例3 计算积分,解 令,上满足定理19.3的条件,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,于是,例3 计算积分解 令上满足定理19.3的条件, 显然 且函,所以,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,因为,所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为,因此,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,另一方面,所以,因此 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性另,的各阶导数存在，且,例4 设 在 的某个邻域内连续, 验证当|x|充,1
9、含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,于是由定理 19.4 可得,分小时, 函数 (9) 的各阶导数存在，且 例4 设,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,同理,如此继续下去，求得 k 阶导数为,于是,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性同理如此继续,例5 求,解 因为,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,条件,所以交换积分顺序得到,例5 求解 因为 1 含参量正常积分定义连续性可,可试用交换积分次序的方法求出积分值.,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续,由定理19.6,例6 设 求 解 显然, 本题不宜先求出,1 含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,1. 参照定理19.1的证明, 定理19.1中条件是否可减弱为:,(2),验证你的结论.,复习思考题,1. 参照定理19.1的证明, 定理19.1中条件是否可,
