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1、一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程的应用,一元二次方程复习,效果检测,定义及一般形式:,只含有一个未知数,未知数的最高次数是_的_式方程,叫做一元二次方程。一般形式:_,二次,整,ax2+bx+c=o (ao),练习一,一、与一元二次方程定义有关的题目：1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？,（1）4x - x + 2 =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （a、b、c 为常数） （4）x + =0,2、已知关于x的方程（m-1）x+（m-2）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当m=时
2、是一元一次方程。,3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：_, 其二次项系数是_,一次项系数是_,常数项是_.4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2,2x2-3x-1=0,2,-3,-1,C,(1)直接开平方法,(2)配方法,(3)公式法,(4)因式分解法,解一元二次方程的方法有几种?,例:解下列方程,、用直接开平方法：(x+2)2=2、用配方法解方程4x2-8x-5=0,解:两边开平方,得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5,右边开平方后，根号前取“”。,两边加上相等项“
3、1”。, 二次项系数化为1；移常数项到右边；两边同时加上一次项系数一半的平方；化直接开平方形式;解方程。,步骤归纳,配方法步骤,解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 =,解:原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 y1=-2 y2=1,先变为一般形式，代入时注意符号。,把y+2看作一个未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式。,3、用公式法解方程 3x2=4x+7,4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+
4、2）,-1, 先化为一般形式；再确定a、b、c,求b2-4ac； 当 b2-4ac 0时,代入公式:,步骤归纳,若b2-4ac0,方程没有实数根。,公式法步骤,右边化为0,左边化成两个因式的积；分别令两个因式为0，求解。,步骤归纳,分解因式法步骤,选用适当方法解下列一元二次方程,1、 (2x+1)2=64 ( 法）2、 (x-2)2-(x+)2=0 ( 法）3、(x-)2 -(4-x)= ( 法）4、 x-x-10= ( 法）5、 x-x-= ( 法）6、 xx-1=0 ( 法）7、 x -x-= ( 法）8、 y2- y-1=0 ( 法）,小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 分解因式法
5、配方法 公式法,分解因式,分解因式,配方,公式,配方,公式,公式,直接开平方,练习三,典型例题： (1)x2-10 x+24=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0; (5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0;(7)x2+px+q=0 (p2-4q0)；,解方程: (x+1)(x+2)=62. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。,中考直击,思考,一元二次方程根的判别式,两不相等实根,两相等实根,无实根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判别式的情况,根的情况,定理与逆定理,两个不相等实根
6、,两个相等实根,无实根(无解),二、,判别式的应用:,所以，原方程有两个不相等的实根。,说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。,1、不解方程，判别方程的根的情况,例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即,(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即,(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 0 , 即,2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数
7、的取值范围,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确定的情况。从而求出待定系数的取值范围,K,3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。,解：,方程有两个不相等的实数根,题目解好了吗？,知识运用,例,：是否存在k，使方程,有两个相等的实数根？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。,解：,a=(k-1) b=-（k+2) c=4,方程有两个相等的实数根,即,一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）,1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特
8、别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 b2-4ac0时，才能应用根与系关系.3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.,补充规律：,两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。,当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：,0,0,0,0,0,设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = ； ( X1-X2)2 = ；,基础练习,拓广探索,当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程
9、两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k
10、2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,例题回顾：例1：如果 是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.,根与系数的关系练习一、填空：1、已知方程 的两根是 ,则 ， = 。,2、已知方程 的一个根是1，则另一个根是 ，k的 值是 .,.,3、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=_;若两根互为倒数，则q=_,4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ，则 b= ，c= .,3,1,-2,1,0,1,-4,-6,5.已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两根的倒数和为 .,6.已知方程x2-
11、bx+22=0的一根为5- , 则另一根为 ,b= .,返回,10,二、选择1、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为 ( ) A B C D,2、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0,A,D,三、解答题：1、已知关于x的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a的值.2、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?,1. 审清题意，弄清题中的已知量和
12、未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。3. 根据题中的等量关系列出方程。4. 解方程得出方程的解。5. 检验看方程的解是否符合题意。6. 作答注意单位。,列方程解应用题的解题过程。,一元二次方程的应用,数字,一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。,解:设十位上的数位X,则个位上的数为,一二三四五六日, ,X-1,X,X+1,X-7,X,X+7,X+7,X+8,X,X+1,X,X+7,X-7,X-8,X-6,X-1,X+1,X+8,X+6,例1.(中考） 某工厂计划在两年
13、内把产量翻一番，如果每年比上年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%）,增长率问题,解：设这个百分数为x,根据题意得,解答略,典型题: 某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是x，则经过一年木材存量达到 ，经过两年木材存量达到 .,返回,利润问题,某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?,解题过程,分析：个利润销售量=总利润,解:设每千克水果应涨价x元,
14、依题意得: (500-20 x)(10+x)=6000 整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去） 要使顾客得到实惠应取x=5 答:每千克水果应涨价 5元.,某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 ,（1）求与之间的函数关系式；,某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克
15、)与 (元/千克)之间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 ,（2）已知该种水果上月份的成本价为5元千克，本月份的成本价为4元千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？,面积问题,有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）,提醒：一般从面积或体积找等量关系,解：设这个台布的长为x尺,根据题意得 （6+2x）（3+2x）=632 解答略,一元二次方程与其他知识结合,1.一元二次方程与分式结合,一元二次方程与几何图形结
16、合,典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是 .,在三角形ABC中，B=60，BA=24cm，BC=16cm现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，求：（1）几秒钟后，PBQ的面积是ABC面积的一半？（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？,动态几何,P,Q,P,Q,返回,效果检测,6.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式,在方程的两边需同时加上的式子是A. 9m2 B. 9m2x2 C. D.,7
17、.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2,返回,8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对的是A若x2=4，则x=2B方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C方程x2+2x+2=0实数根的个数为0个D方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根 9.已知两数的和是4,积是1，则此两数为 .,效果检测,返回,10.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是 A.16 B.18 C.16或18 D.21 11.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均
18、每月增长的百分率是多少?若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是 A.50(1+x) (2+x)=182-50 B.50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+x)2=182 D.50(1+x)2=182,效果检测,返回,1、若a2+a-1=0,b2+b-1=0,求a/b+b/a的值。,拔尖提高,2、若 有解，则须满足什么 。,3、若关于x的方程（k-1)x2-k2x-1=0的一个根是-1，求 k值，并求其他的根。,4、在一次会议上，每两个人相互握一次手，有人统计一共握手66次，问这次会议一共多少人？,返回,5、如图，AO=BO=50cm，OC是射线，蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到B，蚂蚁乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为450cm2?,拔尖提高,返回,小结：,本节我们主要学习了一元二次方程的解法和应用，要求大家作到以下几点：会判断一个方程是不是一元二次方程，能够熟练地将一元二次方程化为一般形式，并准确地写出其各项的系数。会推导一元二次方程的求根公式，能灵活运用一元二次方程的三种基本解法求方程的解。能够列出一元二次方程解决面积问题、数字问题、平均增长率（或降低率）问题，特别是平均增长率问题是中考命题的热点。,
