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1、函数奇偶性,函数 y = f ( x ) 在定义域 A 内任取一个 x A，且 x A,1) 都有 f (x ) = f ( x ),2) 都有 f (x ) = f ( x ),3) 都有 f (x ) f ( x ) 且 f (x ) f ( x ),则 f ( x ) 是偶函数,则 f ( x ) 是非奇非偶函数,则 f ( x ) 是奇函数,问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？,2）在定义域 A 内任取一个 x , 则 x 一定在定义域 A 内吗？,注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；,2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f ( x ) 是非奇非偶函数；,3）考虑函数奇偶性必需先求
2、出定义域。,例1、判断下列函数是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5,解：此函数的定义域为 R, f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1,= 6 x 6 + 3 x 2 + 1,= f ( x ), f ( x ) 是偶函数,解：此函数的定义域为 R, f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5,= x 3 x 5,= (x 3 + x 5 ),= f ( x ), f ( x ) 是奇函数,3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) =,解：此函数的定义
3、域为 R, f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4,= x 2 2x + 4, f ( x ) 是非奇非偶函数,解：此函数的定义域为 2 , + ), f ( x ) 是非奇非偶函数,例2：判断函数 f ( x ) = 的奇偶性,解：由题, 函数的定义域为 1 , 0 ) ( 0 , 1 ,此时 f ( x ) =,= f ( x ),故 f ( x ) 是奇函数,判定函数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算 f (x ) 化向 f ( x ) 的解析式；若等于 f ( x
4、 ) ，则函数是偶函数若等于 f ( x ) ，则函数是奇函数若不等于 ，则函数是非奇非偶函数3）结论。,奇偶函数的图象,想一想,观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？,奇函数,关于原点成中心对称,关于 y 轴成轴对称,偶函数,非奇非偶函数,简称关于原点对称,简称关于 y 轴对称,不关于原点及 y 轴对称,定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是奇（偶）函数。,此定理的作用：简化函数图象的画法。,1）若函数是奇函数,2）若函数是偶函数,例4、作出函数 y = x 2 | x | 6 的图象,解：当 x 0
5、时， y = x 2 x 6,当 x 0 时， y = x 2 + x 6,若利用对称法作图：,先作出 x 0 的图象,再用对称法作出另一半的图象；,可知 函数是偶函数,例5、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x ) = x 2 2x，求当 x 0 时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。,解： f ( x ) 是奇函数, f (x ) = f ( x ),即 f ( x ) = f ( x ),任意取x 0 时，则 x0 x0时 f ( x ) = x 2 2x, f ( x ),= (x ) 2 2(x ),= x 2 + 2x f (
6、x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ）,例6、已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？,解：设 0 x 1 x 2 + ,在所证区间上取值,则 x 2 x 1 0, f ( x ) 在 ( , 0 ) 上是增函数, f (x 2 ) f ( x 1 ), f ( x ) 是偶函数, f ( x 2 ) f ( x 1 ),故 f ( x ) 在( 0 ，+ ) 上是减函数,课堂作业,1.已知 f ( x ) 是奇函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？,2、作出下列函数的图象：1）y = | 2x |2）y = x 2 + 2| x |3、已知 f ( x ) 是偶函数，当 x 0 时， f ( x ) = x 2 2x + 1，求当 x 0 时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。,知识回顾Knowledge Review,
