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1、了解构成函数的要素/了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域/理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数/了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题,第二单元 函数 导数 积分2.1 函数的概念及表示,1. 函数的定义：设A、B是非空 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：yf(x)，xA. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做 (domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA
2、叫值域(range)值域是集合B的子集,数集,任意,唯一,定义域,2函数的三种表示方法：解析法、列表法、 3. 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping)记作“f：AB”.,图象法,唯一,1已知函数yf(x)，xa，b，那么集合(x，y)|yf(x)，xa，b(x，y)|xx0中所含元素的个数是() A0个 B1个 C0或1个 D0或1或无数个 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点 答案：C,2下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是() A
3、y|x| By|x1|x1| Cy D|x|y|1 解析：D中方程当x取某值时y取值不唯一 答案：D,3函数f(x)lg 的定义域为() A0,1 B(1,1) C1,1 D(，1)(1，) 解析：由1x20得1x1，则函数f(x)的定义域为(1,1) 答案：B,4 若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范围为_ 解析：y 的定义域为R， 对一切xR都有 1恒成立， 即x22axa0恒成立0成立，即4a24a0，1a0. 答案：1,0,求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下
4、可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等,【例1】 (1)已知f(x1)x24x1，求f(x)； (2)已知f(x)为一次函数，且fff(x)8x7，求f(x)； (3)已知f(x)2f( )2x1，求f(x) 解答：(1)解法一：设x1t，则xt1，代入f(x1)的解析式，得 f(t)(t1)24(t1)1t22t2，f(x)x22x2.解法二：f(x1)x24x1(x22x1)2(x1)2(x1)2 2(x1)2.用x替代x1，得f(x)x22x2.,(2)设f(x)axb(a0)，所以fff(x)ff(axb)fa(axb)b aa(axb)bba3xa2
5、babb8x7， 所以 解得 所以f(x)2x1. (3)由已知得 消去f( )，得f(x) .,变式1. (1)若f(x) ，则方程f(4x)x的根是() A2 B2 C D. 解析：f(4x) ，依题意 x，解得x . 答案：D,(2)已知 ，则f(x)的解析式可以为() 解析：令t ，则x ，f(t) . 答案：C,研究函数的图象和性质，要注意“定义域优先”的原则，即必须先考虑函数的定义域、求函数的定义域通常是通过解不等式(或不等式组)完成【例2】求下列函数的定义域：(1)y ； (2)y lg(cos x)；(3)yloga(ax1)(a0且a1) 解答：(1)由 解得 所求函数定义域
6、为 ,(2)由 解得所求函数定义域为 (3)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x0.a1时，所求函数定义域为(0，)；0a1时，所求函数定义域为(，0),变式2. 设f(x)lg ，则f( )f( )的定义域为() A(4,0)(0,4) B(4，1)(1,4) C(2，1)(1,2) D(4，2)(2,4) 解析：f(x)lg 的定义域为(2,2)，由 解得4x1或1x4. 答案：B,函数、方程、不等式三者密不可分，比如f(x)g(x)就是求函数f(x)与函数g(x)图象交点的横坐标，同时也可利用方程f(x)g(x)的解，结合函数f(x)与g(x)的图象求不等式f(x)g(x)
7、的解等,【例3】设函数f(x) 若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x解的个数为() A1 B2 C3 D4解析：由f(4)f(0)，得b4，再由f(2)2，得c2，x0时，显然x2是方程f(x)x的解；x0时，方程f(x)x即为x24x2x， 解得x1或x2.综上，方程f(x)x解的个数为3.答案：C,变式3.设f(x) 则f(x) 的解集是() A(，2 ，) B2,0)(0， C2,0) ，) D(，2(0， 解析：据题意可知原不等式等价于 ， 或 分别解之即可 答案：D,1若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数 2函数有三种表示方法列表法、图象
8、法和解析法，三者之间是可以互相转 化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数 方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的 解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近 几年的高考分段函数问题要引起足够的重视 3映射不一定是函数，而函数是特殊的映射求映射作用下的象就是代换(代入法)，而求映射作用下的原象就是解方程或解方程组,【方法规律】,4求用解析式yf(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f(x)是二次根式，
9、则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意 义的实数集合；若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题5求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变 量的制约.,(2009浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计 价该地区的电网销售电价表如下：,若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答),解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：500.568150
10、0.598118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为：500.288500.31830.3(元) 合计：148.4元 答案：148.4,【答题模板】,1. 本题是根据教材中的分段函数问题所改编，设高峰时间段用电量为x千瓦时，应 付的电费为y1元；低谷时间段用电量为y千瓦时，应付的电费为y2元，根据题意：,【分析点评】,因此一个家庭本月应付的电费应为：yy1y2(元),2本题主要考查考生解决应用问题的能力，以及分类求解的思想方法从本 题的难度来看，不是很大，而且问题背景也是比较公平，但是，对于考生 的计算要求比较高 3通过解决实际应用问题，我们可以看到多元函数的雏形，本问题实际上解 决了二元函数的求函数值问题.,点击此处进入 作业手册,
