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1、1,第四章 刚体作业选择填空题14计算题：13, 21，27，31,附加题4-1:质量分别为m和2m,半径分别为r和2r的两个均质圆盘,同轴地粘在一起,可绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑轴转动,在大小盘边缘都绕有细绳,绳下端都挂一质量为m的重物,盘绳无相对滑动,如图所示,求:1)圆盘对水平光滑轴的转动惯量;2)圆盘的角加速度。,2,3,附加题4-2:一根长为l,质量为M的均质细杆,其一端挂在一个光滑的水平轴上,静止在竖直位置。有一质量为m的子弹以速度v0从杆的中点穿过,穿出速度为v,求:1)杆开始转动时的角速度；2)杆的最大摆角。,4,附加题4-3:一半圆形均质细杆,半径为R,质量为M,求半圆
2、形均质细杆对过细杆二端AA轴的转动惯量。,5,本章内容,4.1 刚体的定轴转动,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,4.3 角动量 角动量守恒定律,4.4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理,第四章 刚体的转动,6,一、刚体的概念,在力的作用下，其大小和形状都保持不变的物体称为刚体,二、刚体的平动和定轴转动,1. 刚体的平动,刚体在运动时，刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行。这样的运动称为刚体的平动。,4.1 刚体的定轴转动,刚体中各质点的平动规律完全相同,因此可用刚体中某一点的平动规律来代表整个刚体的平动规律,特点：,7,转动平面,角坐标,*描述刚体绕定轴转动的角量,刚体内各点都绕同一
3、固定直线(转轴)作圆周运动,(运动学方程),角速度,角加速度,特点：,刚体内各点对应的一切角量完全相同，因此可用一点的角量规律来代表整个刚体的转动规律,定义：,矢量?,2.刚体的定轴转动,8,*绕定轴转动刚体内各点的线量与角量对应关系,当,与质点的匀变速直线运动公式相类似,设刚体作定轴转动的角速度及角加速度分别为，则刚体内任一点相应的线量为,时,9,一、力矩概念,二、力矩的计算,1.力对某一固定点的力矩,大小:,右螺旋法则确定,方向:,定义,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,作用与意义,(h为力臂),10,2 力对固定轴的力矩,h,A,(2)力不在垂直于轴的平面内时,(1)力在垂直于轴的平面内
4、时,需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向做正交分解，如图所示,对轴的有效力矩应为：,(3)力矩迭加原理,力矩方向？,11,三、刚体转动定律,第i个质元,切线方向,在上式两边同乘以ri,对所有质元求和,内力矩之和为0,ri,刚体的转动定律,对照牛顿第二定律,转动惯量,12,四、转动惯量,定义,(质量离散分布),(质量连续分布),确定转动惯量的相关要素,例如求匀质杆绕一端时的转动惯量,z,O,x,dx,(M，L),x,(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,令,则,13,O,x,dx,M, L,z,O,x,dx,M,L,平行轴定理,z,d,C,M,z,z,刚体绕任意轴的转动惯量,刚体绕通过
5、质心的轴,两轴间垂直距离,x,x,14,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,15,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,16,(1),(2),例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力,飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度,解,17,例4-2：一定滑轮的质量为 m ,半径为 r ,不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上,绳与滑轮间无相对
6、滑动。求滑轮转动角速度随时间变化的规律。,解,以m1 ， m2 ， m 为研究对象,18,例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链O相接,并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态,当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度。,例4-4:一绕中心轴转动的圆盘,角速度为若将它放在摩擦系数为水平桌面上,问经过多长时间停下来？(已知圆盘质量为m半径为R),19,1、质点的角动量,m,方向,大小,用右手螺旋法确定,O,角动量,4.3 角动量 角动量守恒定律,如:以作半径为r的圆周运动的质点相对圆心的
7、角动量,一、质点角动量定理和角动量守恒定律,20,例4-5 一质点m,速度为v,如图所示,A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求此时刻质点对三个参考点的角动量。,解,21,2、质点的角动量定理,根据,可见:若质点所受合外力矩为零，则质点对该参考点的角 动量为一恒矢量。即为质点角动量守恒定律。,质点的角动量定理,22,例4-6：光滑水平桌面上,小球作圆周运动。初始 r0 v0，当半径减小为r 时v =?,解： 根据角动量守恒,又如:行星绕太阳在指定椭圆轨道上运动，恒遵从角动量守恒定律,23,例4-7:一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为m
8、的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点A (该点在通过环心O的水平面上)，然后从A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力略去不计。求小球滑到点B时对环心O 的角动量和角速度。,亦可用机械能守恒定律求,24,书上解法,25,二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1、刚体定轴转动的角动量,2、刚体定轴转动的角动量定理,3、刚体定轴转动的角动量守恒定律,则,若,=常量,26,再如跳水、芭蕾舞等速度与姿势有着必然的联系,常数,许多现象都可以用角动量守恒来说明,27,例4-8:一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为 x处水平射入细棒,子弹的质量为m ,速度为v0 .
9、求子弹细棒共同的速度 。,解,因子弹、细棒系统不受外力矩作用,因此角动量守恒,28,设人相对于转盘的速度为 vr (相对角速度为r)，转盘相对于固定铅直轴的角速度为。因系统对轴角动量守恒：,例题4-9：质量为M半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对转盘匀速走动，如图。求当人在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。,解,29,以人的运动方向为正方向，则有：,30,例4-10:质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率v0
10、垂直落在距点O为 l/4 处,并背离点O 向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m。问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,31,由角动量定理,考虑到,32,一、力矩的功,O,对一有限过程,4.4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理,(2) 力矩的功本质上就是力的功,(3) 内力矩作功之和为零,说明,(1) 合力矩的功,力矩的功率,33,二、绕定轴转动刚体的动能,z,O,的动能为,刚体的总动能,P,34,三、转动动能定理,刚体上所有外力矩所作功等于绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量。这就是绕定轴转动刚体动能定理,四、机械能守恒定律,35,例4-11:一根长为
11、l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的 ,解,由动能定理,亦可用机械能守恒定律来求！,36,子弹击入沙袋细绳质量不计,子弹击入杆,37,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例4-12:发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R的行星.当飞船静止于空间距行星中心4 R 时，以速度v 0发射一质量为m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。求角及着陆滑行时的速度多大？,38,原长为l0 、劲度系数为k的弹簧,一端固定在一光滑水平面上的O点,另一端系一质量为m的小球。开始时,弹簧被拉长,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v0 ,求当弹簧恢复其
12、原长l0时小球的速度v 的大小和方向。,练习题,39,五、旋进(进动),高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,对O点，陀螺的角动量近似为,角动量定理,由于,因而,只改变方向，不改变大小(进动),40,进动角速度,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,角动量定理,41,1.一质点按规律 在圆轨道上运动，s为沿圆弧的自然坐标。如果当t =2s 时的总加速度为 ，求此圆弧的半径。,力学单元测验,42,2.一质量为2kg的质点在变力F=6t2N作用下沿x轴运动，设t=0时，质点速率v0=2ms-1，质点位置x0=5m；试求质点在1s末的速率和位置。,43,3.一匀质细杆，长L=1m，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如图所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以v=10ms-1的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为 ，子弹的质量为杆质量的 ，试求(1)子弹和杆开始共同运动的角速度；(2)子弹和杆共同摆动能达到的最大角度。,
