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1、1,第三章,a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,am1x1+am2x2+amnxn=bm,矩阵的初等变换与线形方程组,2,3.1 、矩阵的初等变换,1、矩阵的初等变换,引例,解方程组:,增广矩阵,3,解方程的三种变换:,1)互换两个方程的位置； 2)用一个非零数乘某一个方程； 3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去,4,注：上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算.,5,【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)
2、变换:,(1)对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为 ),(3) 把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去 (第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为 ).,注 1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。,2）矩阵的初等变换是可逆的，而且是同型的；,逆变换,逆变换,逆变换,(2)以数 乘第i行(列)的所有元素(记为 ),6,如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价，记做AB。,等价矩阵,等价矩阵之间的性质,如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价，记做AB。,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记
3、做AB。,7,形如:,的矩阵称为行阶梯矩阵.,特点 1）若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方； 2）各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到 下严格递增。,具有特点1）3）的行阶梯矩阵称为行最简矩阵,3）各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零。,一个矩阵经过初等行变换可以化成行阶梯矩阵和行最简矩阵。,8,例1 用初等变换化简矩阵,矩阵A的标准型,注:,1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；,3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型 。,行阶梯型,行最简型,注意！,9,例2 设,解,10,11,例2
4、 设,解,与A有什么关系呢,12,13,【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.,如对三阶单位矩阵E施行三种初等变换得到的三种初等矩阵为：,E23=,E3(k)=,E12(k)=,初等矩阵分为三类, 分别记为Eij、Ei(k)、Eij(k),其中,Eij : 交换单位矩阵E的第i，j行 , 得到的初等矩阵。,Ei(k)：单位矩阵E的第i行 的元素乘以数k, 得到的初等矩阵 。,Eij(k)：单位矩阵E的第j行 乘以数k加到第i行 , 得到的初等矩阵。,对单位阵经一次初等行变换与经一次列变换，得到的初等矩阵相同吗？,(列),(列),(第i列),(第j列),2、初等矩阵的概
5、念,14,1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初 等矩阵,即:,2） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：,3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等 阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一 个相应的初等阵右乘矩阵A.,行变换：,列变换：,初等矩阵的性质：,15,如：,16,A=P1P2Pk.,【证】,充分性:设有初等阵P1，P2，,Pk, 使,A=P1P2Pk.,即 A= P1P2Pk,【定理2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，,Pk，使,因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。,必要性,使,，因A可逆，,所以F也可逆，由,
6、17,小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,18,作业,19,内容回顾,1、矩阵的初等变换,(1)对调两行(列)(对调i与j两行(例)记为 ),(3) 把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去 (第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为 ).,(2)以数 乘第i行(列)的所有元素(记为 ),等价矩阵,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记做AB。,2、初等矩阵的概念,20,A=P1P2Pk.,【定理2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，,Pk，使,1）初等矩阵都是可逆
7、矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初 等矩阵,即:,2） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：,3）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等 阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一 个相应的初等阵右乘矩阵A.,初等矩阵的性质：,21,【推论2】设A是可逆矩阵,则A可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.,【推论1】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.,注：矩阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵E等价.,【证推论2】,因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2存在初等阵P1,P2,Ps,使,A-1=
8、P1P2Ps,于是有 A-1A=P1,P2,PsA=E,22,设A可逆，则存在有限个初等矩阵,下面我们来证明前面留下的一个结论：,求逆矩阵,23,例1,设,求 A1.,解：,24,r1 + r2,r3 r2,25,例2 设,分析：,26,27,求逆矩阵,28,注意：,求方阵的逆矩阵,29,3.2 、矩阵的秩,1.矩阵秩的概念,则 均是A的子阵.,是A的两个二阶子式.,【定义2.8】矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩.记为R(A).如果A是零矩阵,规定R(A)=0.,将矩阵 的某些行或某些列划去，余下的元素按原来的顺序排列而成的矩阵称为矩阵A的子(矩)阵.矩阵A可以看做自身的一个子（矩）阵
9、 A的子方阵的行列式为A的子式 .,子式,例如,注：,1）R(A)=0的充要条件是A=O；若AO，则R(A) 0;,2）若R(A)=r ，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶数大于r的子式全为零.,30,由矩阵秩的定义不难得到：,如矩阵:,又如：,由于B中所有三阶子式均为零,而二阶子式 , 所以R(B)=2 .,所有二、三阶子式为零，A中又有非零元素，故R(A)=1；,(4) 其中A1为A的任一子阵,【性质】 设A是 型矩阵,则,2. 矩阵秩的性质,31,例1 求下列矩阵的秩,解,对于矩阵A,有, 而所有的四阶子式全为零.,所以R(A)=3.,对于B，显然其三阶子式, 而所有的四阶子式全为零
10、.,所以R(B)=3.,32,印象,1. 一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。,2. 行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数.,2）初等变换不改变矩阵的秩,1) 且r由A唯一确定;,【定理】若矩阵A与B等价,则R(A)=R(B),注,问题:等价的两矩阵其秩是否一定相等?,33,例2,求矩阵A的秩，其中,解,由于A的行阶梯矩阵的非零行数为3，故R(A)=3.,3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩,一般方法：,1）将A用初等变换化为行阶梯矩阵；,2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。,34,若矩阵的秩等于矩阵A的行（列）数，则称A为行（列）满秩矩阵；若方阵A的秩等于A的阶数，则称矩阵A为满秩矩阵。因此有以下结论：,1)n阶方阶A的秩R（A）=n n方阵A可逆,2）由定理2.3知:,4. 满秩矩阵及有关结论,35,例3,解：,36,补充几个有用性质,37,例4,证, 所以,38,小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,39,思考题,40,思考题解答,答,相等.,即,由此可知,41,作业：,42,用初等变换化简矩阵A，并求A的秩,练习,
