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1、2.3 初等解析函数和多值函数,1、初等单值函数,(1) 幂函数,幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：,也处处解析。,而有理函数： 除了 点外解析。,(2) 指数函数,指数函数的性质： (i),(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。,(iii),(iv) 指数函数处处解析，且：,(v),(vi) 不存在。,证明：(iv),(3) 三角函数,性质：,(i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：,(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式：,(iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期；,(iv) sinz=0，则 cosz=0，则,(v
2、) 在复数域中，不能判定,证明：(ii),2、初等多值函数,(I) 根式函数：,根式函数的多值性 例如：,很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：,显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。,若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w) 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支。,(II) 支点,如图，
3、在平面上任选一点z(r,)，则利用第一个单值分支得：,若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：,我们称z=0为 的支点。,定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点。,对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。,(III) 支割线,连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不
4、包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。,注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。,(IV) 对数函数：,显然：,很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。,若限定- Arg(z) 很明显，即- v(x,y) ，则z的对数只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。所以：,显然：,如在w平面上用平行于实轴的直线画出一个宽为2的条带，例如图中的I，则z与w为一一对应的关系。I为z=ew的单叶性区域。,同样，对数函数也存在两个支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：,而这无穷多个单值函数皆是解析函数。,证明：,考虑极限：,所以：,对数运算法则：,证明：,例1：若a0，计算Ln(-a).,解：,而：,所以：,例2：计算Ln(i).,解：,因为：,所以：,例3：计算ii。,解：,所以：,因为：,(III) 反三角函数：,由于：,则：,则：,所以：,同理，由反余弦函数得：,由于对数函数的多值性，显然反三角函数也是多值函数。,
