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1、利用导数研究函数的极值,高二数学,知识与技能目标：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤；过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.,教学目标,教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.,教学重难点,利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数f (x) ;,解不等式f (x)0得f(
2、x)的单调递增区间; 解不等式f (x) 0得f(x)的单调递减区间.,教学目标,函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。,右图为函数y=2x36x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值
3、与极小值统称极值.,在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.,课前预习,(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.,请注意以下几点:,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点,而f(x4)f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为
4、极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.,由上图可以看出, 在函数取得极值处,如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从而有f (x) =0 .但反过来不一定. 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水平的, 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x0使f (x) =0 .那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？,如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此, x0的
5、左侧附近f(x)只能是增函数, 即f (x) 0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f (x) 0.,同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即f (x) 0.,从而我们得出结论:若x0满足f (x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极值点, f(x0)是极值,并且如果f (x)在x0两侧满足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f (x) 在x0两侧满足“左负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极小值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0, 并且,曲线
6、在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(3) 如果在根x0附近的左侧 f (x) 0, 右侧f (x) 0, 那么, f(x0)是极大值;,(4) 如果在根x0附近的左侧f (x) 0, 那么, f(x0)是极小值.,（1）求导数f (x); （2）求方程f(x)=0的所有实数根;,如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧，f(x)的符号不变，则f(x0)不是极值.即:f(x)=0的根不一定都是函数的极值点。由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f
7、(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f(x)的符号不同。很明显，f(x0)=0是x0为极值点的必要条件，并非充分条件。,注意：,如何求函数的最大（小）值呢？,假设y=f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f (x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f (x)=0的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值。,求函数y=f(x)在a，b的最大（小）值步骤如下： （1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f (x)=0的
8、点； （2）计算函数f(x)在区间内使f (x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例1已知函数y= x34x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象；（2）求函数在区间3，4上的最大值和最小值,解：（1）y=( x34x+4)=x24 =(x+2)(x2),令y=0，解得x1=2，x2=2,当x变化时，y，y的变化情况如下表:,当x=2时，y有极大值且y极大值=,当x=2时，y有极小值且y极小值=,（2）f(3)=7，f(4)=9 = ，,与极值点的函数值比较得到该函数在区间3，4上 最大值是9 ， 最小值是,例2求y=(x21)3+1的极值.,解
9、：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1. 当x变化时，y，y的变化情况如下表:,当x=0时，y有极小值且y极小值=0,例3求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值,解：先求导数，得y =4x34x, 令y =0 即4x34x=0，,解得x1=1，x2=0，x3=1. 导数y 的正负以及f(2)，f(2)如下表：,从上表知: 当x=2时，函数有最大值13， 当x=1时，函数有最小值4,1函数y=1 +3xx3有( ) (A) 极小值1，极大值1 (B) 极小值2，极大值3 (C) 极小值2，极大值2 (D) 极小值1，极大值3,
10、D,达标练习,2函数y(x21)31的极值点是( ) (A) 极大值点x=1 (B) 极大值点x=0 (C) 极小值点x=0 (D) 极小值点x=1,C,3函数f(x)=x 的极值情况是( ) (A) 当x=1时取极小值2，但无极大值 (B) 当x=1时取极大值2，但无极小值 (C) 当x=1时取极小值2，当x=1时取极大值2 (D) 当x=1时取极大值2，当x=1时取极小值2,D,4若函数y=x3+ax2bx27在x=3时有极大值，在x=1时有极小值，则a= ；b= .,3,9,5函数y=348xx3的 极大值是 , 极小值是 ,y|x=4=125,y|x=4=131,6函数y= ，当x= 时取得极大值为 ；当x= 时取得极小值为 .,0,0,2,4,7已知函数f(x)x3+ax2+bxa2在x1处有极值为10，求a，b的值,a=4，b=11,课堂小结,一、极值的概念,二、 求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,课后作业,课本 P99 练习B 1,
