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1、2.1勾股定理（1）,仪征市实验中学,观察-探索-论证,观察：两直角边的平方和等于斜边的平方,c,a,b,面积A+面积B=面积C,a2 + b2 = c2,观察-探索-论证,相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系。,探究：如果在网格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,有这种关系吗？,A,B,C,9,16,？,怎么求SR的大小？有几种方案？,动动脑啦,如图，小方格的边长为1.,C,求正方形R的面积？,用“补”的方法,用“割”的方法,Q,SR,SR,a,c,b,SP+SQ=SR,如果
2、直角三角形的直角边分别是a、b，斜边是c ，观察面积等式，它们之间会有什么关系吗？,a2+b2=c2,观察所得到的各组数据，它们有毕达哥拉斯发现的规律吗？,a2,b2,c2,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,西方称（毕达哥拉斯定理),A,C,B,弦,勾,股,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。,勾股世界,数学史,1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学
3、泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。 在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。,勾股定理的证明方法很多，达400多种，在中国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽四个全等的直角三角形创制了一幅“勾股圆方图”，人们称之为“赵爽弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明！,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,勾股定理的证明,赵爽的“弦图”,赵爽弦图,2002年世界数学家大会会标,“赵爽弦图表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选
4、为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。,=2ab+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,c2,4 +(b- a)2, c2= 4 +(b-a)2,大家学过从“面积到乘法公式”，主要从哪些角度思考图形的面积？你能弦图中推出勾股定理吗？,整体角度,局部角度,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,A,C,B,数学符号语言：,在Rt ABC中， C=90oAC2+BC2=AB2或a2+b2=c2,弦,勾,股,比一比看看谁算得快！,1.求下列直角三角形中未知边的长:,可用勾股定理建立方程.,方法小结:,40,x,41
5、,12,5,x,学以致用,小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕长只有58厘米和宽46厘米，他认为是售货员搞错了。你同意他的看法吗？,例,46,58,？,小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？,售货员没搞错,解：,议一议,荧屏对角线大约为74厘米,46,58,1、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的平方是 .,25或7,试一试:,分析:对较长的边“4”，进行分类讨论：,（1）“4” 是斜边：,（2）“4” 是直角边：,能力提升：,1、
6、在RtABC中，斜边AB=2，则 AB2+BC2+AC2=_,2、在直角三角形中，若其中两边长分别为3和5，则它的面积为_,3、如图，ABC中，C=90，CD AB 于D， AC=9，BC=12， 求：CD的长。,2AB2=8,6或7.5,9,12,15,方法（面积法）：1/2ACxBC=1/2ABxCD即1/2X9x12=1/2x15xCD所以CD=7.2,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和,S1,S2,解： SE= 49,S1=SA+SB,S2=SC+SD, SA+SB+SC+SD = S1+S
7、2 = SE = 49,(2)所有正方形面积和,(2)所有正方形面积和SA+SB+SC+SD+S1+S2+SE=3SE=3X49=147,美丽的勾股树,(a + b)(b + a)= a2 +a2 + b2=c2,a,a,b,b,c,c,1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。,c2,+ 2( ),+ ab,+ b2,=,c2,ab,ab, a2 + b2 = c2,a2,b2,a2,c2,毕达哥拉斯证法,如图,以RtABC的三边
8、为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由.,练一练,S1,S2,S3,（图中每个小方格代表一个单位面积）,思考：,1、观察左图中的ABC和DEF，它们是直角三角形吗？,2、分别以ABC和DEF的各边为一边向外所作的正方形，其中两个小正方形的面积和等于大正方形的面积吗？,S1,S2,S3,S1,S2,S3,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,探究2,A,C,O,B,D,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移多少?,例1、已知ABC中, C= 90o,BC= a ,AC=
9、b ,AB=c已知: a=3, b=4, 求 c;已知: a =6 , c =8, 求 c; (3)已知:c=15 , a : b = 3 : 4,求 a ,b.(4)若假设 BC=ma,AC=mb,m为正整数 求 c;,已知： a3， b4，求c,已知： c 10，a6，求b,1、已知， RtABC 中，a，b为的两条直角边，c为斜边，求：,b,例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？,A,B,C,3千米,5千米,20秒后,规范运用,D,A,蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米
10、？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,智能提升,3,4,12,5,6,8,以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？, 议一议,已知:ABC，ABAC17，BC16. (1)求高AD的长; (2)求SABC .,例题分析,8,17,?,1、已知：ABC，ABAC17，BC16，则高AD，SABC.,2、池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m。你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）,拓展延伸,例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？,规范运用,美国第二十任总统伽菲尔德的证法：,
