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1、第三节 函数的单调性与最值,基础梳理,1.定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2 A，当x1f(x2),f(x1)f(x2),局部,定义域,任意,区间A,2. 如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为_或_，统称单调函数,增函数,减函数,3. 复合函数的单调性对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且ug(x)在区间(a，b)上和yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数yf(g(x)在区间(a，b)上具有_，并且具有这样的规律：“_”，见表.,单调性,同增异减,增函数,增函数,减函
2、数,减函数,增函数,减函数,基础达标,(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A. yx1 B. yC. yx24x5 D. y,解析：结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意,B,2. (教材改编题)f(x)4x2mx5在2，)为增函数，f(1)的取值范围是() A. (，25 B. (25，) C. 25，) D. (，25),解析：由题意知对称轴 2，即m16，所以f(1)9m25.,C,3. 若函数yax与y 在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是() A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增,B,解析：由题意可知a0，b0，y
3、ax2bx的对称轴方程：x 0，又a0，yax2bx在(0，)上为减函数,4. 函数f(x) 在2,3上的最小值为_，最大值为_,解析：,f(x)在(1，)上为减函数，f(x)在2,3上单调递减，f(x)minf(3) ，f(x)maxf(2)1.,5. 函数 的单调递减区间是_,解析：,令u|x3|，则在(，3)上u为x的减函数，在(3，)上u为x的增函数又0 1， 在定义域内为减函数，在区间(3，)上y为x的减函数,(3，),经典例题,【例1】判断并证明函数f(x) ，x1，)的单调性,题型一函数单调性的判断与证明,判断并证明函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性,变式11,方法一
4、(定义法)：设10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0，f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数,方法二(导数法)：a0，x2+10，(x2-1)20，f (x)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数,题型二求函数的单调区间,【例2】求函数f(x)x 的单调区间,分析：利用定义法或导数法,解：方法一：首先确定定义域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)两个区间上分别讨任取x1，x2(0，+)且x1x2，则f(x2)-f(x1)=要确定此式的正负只要确定1- 的正负即可,这样，又需要 判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+
5、)分为(0,1)与(1，+)(1)当x1、x2(0,1)时，1- 0，f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数；同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，f(x)为减函数；(4)当x1、x2(-，-1)时，f(x)为增函数,方法二：f(x)= ，令f(x)0，得x21，即x1或x-1，令f(x)0，得x21，即-1x1，f(x)的单调增区间为(1，+)和(-，-1)，单调减区间为(-1,0)和(0,1),解析：yx22|x|3x22x3，x0，x2 -2x3，x0， -(x+1)2+4， x0，如图单调递增区间是(，1和0,1，递减区间是(1,0)和(1，),求函数yx22|x|3的单调区间
6、,【例3】函数f(x)对任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,题型三单调性的应用,解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函数，3m2-m-22，
7、解得-1m ，则其解集为 .,已知偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，解不等式flog2(x25x4)0.,变式31,f(2)=0，原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(-，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0.不等式可化为log2(x2+5x+4)2，或log2(x2+5x+4)-2，由得x2+5x+44，x-5或x0，,解析：,.,由得0 x2+5x+4 x-4或-1x ，由、得原不等式的解集为,【例4】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，(
8、1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值,题型四函数的最值,解：(1)证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，又x0时，f(x)0，而x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在-3,3上也是减函数，f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)，而f(3)=3f(1)=-2，由题意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0，f(0)=f(x-x)=f
9、(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数f(-3)=-f(3)=2.f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.,易错警示,【例】求函数 的单调区间，并指出每一个单调区间上的单调性错解设ux24x3，则在区间2，)上为减函数，在区间(，2上为增函数,错解分析：由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。,正解：由不等式x2-4x+30，得函数的定义域为(-，1)(3，+)设u=x2-4x+3，则又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，故由二次函数的性质知：当x2时，u=x2-4x+3为增函数；当x2时，u=x2-4x+3为减函数因为函数定义域为(-，1)(3，+)且 为减函数，在(-，1)上为增函数，在(3，+)上为减函数,链接高考,(2010天津)设函数f(x)x21，对任意x ， 恒成立，则实数m的取值范围是_,知识准备：1. 不等式恒成立问题转化为求函数的最值；2. 形如yaf(x)2bf(x)c的类型求最值，换元后利用二次函数求最值,依据题意， 14m2(x21)(x1)214(m21)在 x 上恒成立，即 在x 上恒成立，令 ，,解析：,当 x 时，函数 取得最小值 ， ，即(3m21)(4m23)0，解得m 或m .,
