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1、1,第四节 函数的单调性与极值,2,一、函数单调性的判别法,函数单调增加,函数单调减少,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,观察与思考：,3,函数单调增加时导数大于零；,观察结果：,函数单调增加,函数单调减少,函数单调减少时导数小于零.,一、函数单调性的判别法,4,定理,5,证,6,注：,1、函数单调性的判别法是Lagrange中值定理的重,要应用.定理中的区间a,b可推广为开区间、半开区间、,无穷区间等,定理均成立.,2、单调性是函数在一个区间上的性质, 因此要用导数在,该区间上的整体符号来判定,不能用一点处的导数符号来,代替.,区间内个别点处的导数为零,不影响函数在该区间,上的整体单调性
2、.,3、若不特别指明区间,默认在定义域上,例如,讨论函数的单调性.,7,例1,解,例2,解,注意定义域！,8,例3,解,单调增、减区间统称为单调区间.,对大多数函数而言, 求函数的单调区间比讨论其在定,义域上的整体单调性更有意义.,9,例4,解,10,函数单调区间的计算,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的,称为驻点,分界点.,求函数单调区间的步骤：,1、求函数的定义域；,驻点或不可导点,4、用分界点将定义域划分成若干区间，应用判别法,列表进行讨论；,5、写出结论（分界点勿忘）.,3、在定义域内,求单调区间的分界点；,11,解,例5,分界点不要忘,12,解,例5,规定：判断过程必须列表讨
3、论.,上述过程不利于作图.,13,例6,解,（常见错误：,14,二、函数的极值及其求法,15,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,16,说明：,1、极值不一定都存在；,2、极值若存在,必在定义区间的内部取到；,3、极值是局部性的概念,可以有多个,且极大值不一定,无极值.,而最值既可能在区间内部取到,也可能在端点处取到.,若最值在区间内部取到,则必为极值.,最值是全局概念. 至多有一个最大值，一个最小值.,比极小值大.,最小值不会大于最大值.,17,定理1(极值的必要条件),所以对可导函数来说,极值点必为驻点.,但反之不然，驻点不一定是极值点.,18,此外,不可
4、导点也可能是极值点,但函数的不可导点也不一定是极值点，,19,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,我们将驻点和不可导点统称为极值可疑点.,下面给出两个充分条件,用来判别极值可疑点是否,两者必居其一.,为极值点.,20,定理2(极值的第一充分条件),一阶导数变号法,21,(1) 确定函数的定义域；,(4) 应用极值的第一充分条件判断（列表讨论）.,求极值的步骤：,(3) 在定义域内, 求极值可疑点(即驻点或一阶导数,极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间,的分界点.,极值的另一种理解.,不存在的点)；,函数单调区间和极值经常是放在一起求的.,(5) 写出结论.,22,例7,解,列
5、表讨论：,23,极大值,极小值,列表讨论：,极小值,24,知识回顾：,1、函数单调性的判别法则,定理,定理(极值的必要条件),2、极值的充分、必要条件,25,定理(极值的第一充分条件),极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间,的分界点.,26,定理3(极值的第二充分条件),称为“二阶导数非零法”,(1)记忆:几何直观；,说明：,(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；,此时需用第一充分条件或定义法进行判断.,27,例8,解,28,例9,解,例10,解,30,例10,解,31,例11,证,三、函数的单调性、极值的应用,1、利用函数的单调性证明不等式,不可少,32,例12,证,极小值,例13,证,例13,证,35,由零点定理知，,例14,证,2、利用函数的单调性讨论方程的根,36,作业：,37,作业：,38,例8,解法一,列表讨论,极大值,极小值,39,例12,证,综上所述，,40,定理3(极值的第二充分条件),当第二充分条件失效时, 需用第一充分条件或定义法,进行判断.,
