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1、1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有,问题：函数单调性的定义怎样描述的?,(1)若f(x1)f (x2) ，那么f(x)在这个区间上 是增函数.,(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.,(2)作差f(x1)f(x2) (作商),2用定义证明函数的单调性的一般步骤：,(1)任取x1、x2D，且x1 x2.,(4)定号(判断差f(x1)f(x2)的正负)(与0比较),(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式),(5)结论,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7
2、(2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？,1.3.1函数的单调性与导数,高二数学 选修2-2 第一章 导数及其应用,2,.,.,.,.,.,.,.,观察函数y=x24x3的图象：,总结: 该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;,而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,观察下面一些
3、函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数,如果f(x)0,则f(x)为增函数;,则f(x)为减函数.,如果f(x)0,函数单调性与导数正负的关系,例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.,f(x)的单增区间为（，0）和（2，）,f(x)的单减区间(0,2),说明：当x=0或2
4、时, f(x)=0,即函数在该点 单调性发生改变.,题型一：求函数的单调性、单调区间,变式1：求函数 的单调区间。,解:,变式2：求函数 的单调递减区间。,注意：考虑定义域,小结：根据导数确定函数的单调性步骤：,1.确定函数f(x)的定义域.,2.求出函数的导数.,3.解不等式f(x)0,得函数单增区间; 解不等式f(x)0,得函数单减区间.,练习：求下列函数的单调区间,增区间为(0,+),减区间为(-,0),注意：考虑定义域,题型一：求函数的单调性、单调区间,增区间为,减区间为,增区间为(-1,1),减区间为(-,-1),(1,+),增区间为,减区间为,题型二：应用导数信息确定函数大致图象,
5、已知导函数的下列信息：,试画出函数 图象的大致形状。,分析：,题型二：应用导数信息确定函数大致图象,已知导函数的下列信息：,试画出函数 图象的大致形状。,分析：,解： 的大致形状如右图：,题型二：应用导数信息确定函数大致图象,(A),(B),(C),(D),C,(04浙江理工类),高,考,试,尝,设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示,则 的图象最有可能的是( ),高,考,试,(04年全国理),B,尝,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,
6、h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.,通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。,练习,函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状,O,a,b,c,x,y,一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间,如果f(x)0,则f(x)为增函数;,则f(x)为减函数.,如果f(x)0
7、,小结,1、函数单调性与导数正负的关系：,2、根据导数确定函数的单调性步骤：,（1）确定函数f(x)的定义域.,（2）求出函数的导数.,（3）解不等式f(x)0,得函数单增区间; 解不等式f(x)0,得函数单减区间.,题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围,思考：,题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围,函数在（0，1上单调递增,注： 在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）； 但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,本题用到一个重要的转化：,函数单调性与导数的关
8、系,1.如果在区间(a,b)内f(x)0(f(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） ,那么f(x)0(f(x)0）在区间(a,b)内恒成立。,练习1：已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。,解：f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，,f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立，,a0且=36+12a0，,a -3,例3：方程根的问题求证：方程 只有一个根。,练习,4.求证: 函数 在 内是减函数.,解:,由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.,函数单调性与导数的关系,1.如果在区间(a,b)内f(x)0(f(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） ,那么f(x)0(f(x)0）在区间(a,b)内恒成立。,
