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1、小论倍长中线法及其应用,本讲的主要内容,何为倍长中线法倍长中线法的初步应用倍长中线法的进阶应用小结,何为倍长中线法？,倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构造所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。,倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长 的那一条），用SAS证全等（对顶角）。倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。,何为倍长中线法？,主要思路：倍长中线（线段）造全等,
2、方法一：在ABC中 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE,方法二：作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD,倍长中线法的初步应用,例题1：如图，在ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则2AD的取值范围是_.,解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则显然AE=2AD，又易证ADC EDB（SAS）。故AC=EB，在ABE中，利用三边的不等关系，AB-BEAEAB+BE,可知22AD12.,倍长中线法的初步应用,例题2：已知ABC中，AB4 cm，BC6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围
3、。,解：延长BD至E，使DEBD.连接CE.BD是AC边上的中线，ADCD，BDAEDC，BDAEDC(SAS)CEAB.在CBE中，BCCEBEBCCE，2 cm2BD10 cm.1 cmBD5 cm,倍长中线法的初步应用,例题3：在ABC,A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB=A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明ABC A,B,C,。,证明：分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,，连结B,E、B,E,。可以证明：ADC EDB，A,D,C, E,D,B,（SAS）。故有BE=CA，B, E, =C, A,，1=E，2=E,
4、。由于CA=C, A, ，故BE= B, E, 。进而可证明ABE A,B,E, （SSS），因此E= E,且BAD= B, A, D,故1= 2，BAC= BAD+ 1= B, A, D, + 2= B, A, C, 。 进而可证ABC A,B,C,（SAS）。,倍长中线法的初步应用,例题4：如图，AD，AE分别是ABC和ABD的中线，且BABD，BADBDA.求证：AE1/2AC.,解：延长AE至F，使EFAE，连接DF.AE是ABD的中线，BEDE.AEBFED，ABEFDE(SAS)BBDF，ABDF.BABD，BADBDA，BDDF.ADFBDABDF，ADCBADB，ADFADC.
5、AD是ABC的中线，BDCD.DFCD.ADFADC(SAS)ACAF2AE，即AE 1/2 AC,倍长中线法的进阶应用,例题5：如图，ABAE，ABAE，ADAC，ADAC，点M为BC的中点求证：DE2AM.,解：延长AM至N，使MNAM，连接BN，点M为BC的中点，BMCM.又BMNCMA，AMCNMB(SAS)ACBN，CNBM，ABNABCC180BACEAD.又BNACAD，ABEA，ABNEAD(SAS)DENA.又AMMN，DE2AM,倍长中线法的进阶应用,例题6：如图，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB。求证：CE=2CD。,证明：延长CD至点F，使DF
6、=CD，连接B,F。则由ADCBDF，可得AC=BF，1=A，由AC=AB得ACB=2因为3=A+ACB，故3=CBF。再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得CBECBF，所以CE=CF，即CE=2CD。,小结,实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等模型（“8”字型）构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。,练习1 ： 如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF，求证：ACBF.,练习2：已知：如图，在 ABC中，AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC.,
