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1、小论倍长中线法及其应用,郑贤镇,本讲的主要内容,何为倍长中线法倍长中线法的初步应用倍长中线法的进阶应用小结,何为倍长中线法？,倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构造所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形。利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。,倍长中线法的初步应用,例题1：如图，在ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则2AD的取值范围是_.,解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则显然AE=2AD，又易证ADC EDB（SAS）。故AC=EB，在ABE中，利用三边的不等关系，AB-BEAEAB+BE,可知22AD12.,倍长中
2、线法的初步应用,例题2：在ABC,A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB=A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明ABC A,B,C,。,证明：分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,，连结B,E、B,E,。可以证明：ADC EDB，A,D,C, E,D,B,（SAS）。故有BE=CA，B, E, =C, A,，1=E，2=E,。由于CA=C, A, ，故BE= B, E, 。进而可证明ABE A,B,E, （SSS），因此E= E,且BAD= B, A, D,故1= 2，BAC= BAD+ 1= B, A, D, + 2= B, A, C, 。 进而可证ABC A,B,C,（SAS）。,倍长中线法的进阶应用,例题3：如图，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB。求证：CE=2CD。,证明：延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。则由ADCBDF，可得AC=BF，1=A，由AC=AB得ACB=2因为3=A+ACB，故3=CBF。再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得CBECBF，所以CE=CF，即CE=2CD。,小结,实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等模型构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。,
