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1、第二部分 非线性控制系统设计,1 非线性控制问题,如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性影响很重要.设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得闭环系统呈现出期望的性态。控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服)镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行,2,1.1 镇定问题,注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_d，我们可以将 x-x_d 看作状态，将问题化为零点调节问题。,
2、例：倒立摆镇定问题,任务是将摆从 theta 较大的角度控制到垂直的位置,将被控对象动态方程修改为所期望的形式。,3,1.2 跟踪问题,称控制系统有完全跟踪能力。渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪,对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。,4,系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪,5,2 期望性态的规定,线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形时域：上升时间、超调量、调节时间频域：传递函数的低频和高频特性等对非线性系统的规定
3、没这么系统化、明显非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；对其频域描述是不可能的,期望性态通常考虑下面性质：稳定性响应的精度和速度鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响）代价,6,3 构造非线性控制器的一些问题,非线性控制设计步骤给定一个需要控制的物理系统，可通过以下步骤来设计:指定系统的期望形态，选择执行器和传感器用一组微分方程对物理系统建模对系统设计控制规律对所得控制系统进行分析和仿真用硬件实现控制系统,7,（2）反馈和前馈 反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作通常，
4、如果在控制规律中不用前馈，稳定的控制非线性系统是不可能的,8,（1）非线性系统建模模型要比较精确但易于处理建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确定性的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性是模型和实际物理系统之间的差距。,4 非线性控制设计方法,（1）试探法利用分析工具来指导对可以根据分析和仿真结果来证实的控制器的研究相平面法、描述函数法、Lyapunov方法都可用依赖于经验和直觉对复杂系统，经常失效,（2）反馈线性化方法将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计方法完成控制设计。,（3）鲁棒控制在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同时考虑
5、了标称模型和一些模型不确定性,9,（4）自适应控制目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系统,第6章 反馈线性化,核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个（全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的技巧反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而是通过状态变换和反馈得到的。,10,本章内容,直观概念,数学工具,单输入-单输出系统的输入-状态线性化,11,6.1 直观概念,6.1.1 反馈线性化及其标准形,基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成为一个线性系统。,例：控制水槽液位,考查控制一个水槽液面的高度h到一个特定
6、高度h_d.控制输入是水槽的输入流量u,初始高度为h_0,水槽的系统模型为：,其中，A_h是水槽的横截面，a是出水管横截面,12,如果选取u(t)为,其中，v是一待定“等价输入”,得到系统是线性的，即,选取v为液面高度误差 的函数:,a是一正常数，所得闭环系统为,而实际的输入流量是由非线性控制规律决定：,如果期望液面高度是一个已知的随时间变化的函数h_d，则等价输入v可选为,13,14,补充: 线性系统的能控概念、能控标准形N阶齐次常系数线性微分方程的解的形式，及其稳定性,反馈线性化的思想可以简单地应用于一类能控标准型的非线性系统中,系统,其中,u是标量控制输入，f(x)和b(x)是状态的非线
7、性函数,能控标准形的状态方程可表示为：,对于这类可表示成能控标准型的系统，通过控制输入,可以消去非线性部分，得到简单的单输入-单输出关系,此时，求得控制规律为,则系统,是指数稳定的,而,却可以实现跟踪控制,15,例：双连杆机械手的反馈线性化,使用类似的方法，对能控标准形的非线性系统，设计控制律,控制设计目标是让关节所在位置q_1和q_2按照预先规划好的路径q_d1(t)和q_d2(t)运动（跟踪问题）,机械手的动态方程为：（q为关节角，te为输入）,其中，,16,状态方程可以简化成：,方程两边同乘以H的逆阵，很容易将方程变为,为了达到跟踪控制任务，选择下面的控制规律：,+,这里，,此时，跟踪误
8、差满足方程：,因此，跟踪误差指数收敛到0,17,6.1.2 输入-状态线性化,当非线性系统不是能控标准形时，就必须在使用反馈线性化之前先通过代数变换把系统转变为能控标准形,用输入-状态线性化解决这个问题需要两步：找到一个状态变换 z=z(x) 和一个输入变换 u=u(x,v)，使非线性系统转化为一个等价的线性定常系统利用标准的线性控制方法（如极点配置）去设计v,考查二阶非线性系统,控制输入u不能直接消去第一个方程中的非线性部分，如何进行反馈线性化？,18,首先，进行状态变换z=z(x)：,则新的状态方程为,而非线性部分就可以被如下的u=u(x,v)消掉：,经过状态变换的线性系统方程为：,利用原
9、控制输入u来镇定原非线性系统的问题，已转化为使用新控制输入v来镇定新系统的问题。,对二阶非线性系统,19,适当选取反馈增益，可以对线性系统任意配置极点:,例如，可以选取,得到闭环系统,其极点都为-2，因此是稳定的。,回到原状态 x_1 和 x_2 ，与该控制规律相对应的原控制输入为,总的闭环系统的方框图为：,20,注：控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅可比线性化,如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系统中。此时，有两个问题：哪些类型的非线性系统可以转变成线性系统？对可以线性化的非线性系统如何找出适当的
10、变换？,21,本章内容,直观概念,数学工具,单输入-单输出系统的输入-状态线性化,22,6.2 数学工具,一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数,23,1 李导数 和 李括号,可递推定义高阶李导数,Lypunov函数V沿系统轨线的导数用李导数如何表示？,24,例：系统,李括号的运算法则：,（试加以证明）,25,2 微分同胚 和 状态变换,全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?,判断phi(x)是否局部微分同胚？,26,它的雅可比矩阵是,在x=(0,0)处，矩阵的秩为2。因此非线性映射定义了原点的一个邻域上的局部微分同胚,27,
11、3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius) 定理,考查一阶偏微分方程组,如何判断方程组是否有解呢？根据Frobenius定理，当且仅当 f 和 g 的李括号能表示成向量 f 和 g 的线性组合时，方程有一个解h，即满足,（对合条件）,对合条件在几何上意味着 f,g 位于向量 f 和 g 张成的平面上,28,对合意味着从集合中任取一对向量场做李括号得到的向量场可以用原向量场集合的线性组合表示。注：常值向量场总是对合的一个仅有一个向量场f的集合是对合的检验向量场是否对合，即检验下式对 所有x及 i，j 是否成立：,29,30,本章内容,直观概念,数学工具,单输入-单输出系统的输入-状态线性化,31,6
12、.3 单输入-单输出系统的输入-状态线性化,对于单输入的非线性系统,其中，f 和 g 都是光滑向量场，这个系统何时能由状态和输入变换线性化？怎样找到这样的变换？怎样基于这样的反馈线性化设计控制器？,32,注： 第一个条件可以看作非线性系统 的能控性条件。对于线性系统，向量场 变成 ，并且它们线性无关就等价于线性能控矩阵可逆。 线性系统具有常值向量场集合，因此满足对合条件。非线性系统并不普遍满足对合条件。,1 输入-状态线性化的条件,33,2 怎样进行输入-状态线性化,非线性系统的输入-状态线性化可由下面的步骤完成：对给定系统构造向量场检验是否满足能控性条件和对合条件如果两个条件都满足，从以下方
13、程组中,34,例：一单连杆柔性-关节机器人,其运动方程是,考查输入-状态线性化是否适用,第一步，使用状态空间表示。选择状态向量为,35,原方程可化为,的形式,第二步，检验能控性条件和对合条件,当k0, IJinf 时，能控性矩阵的秩为4。而且，由于向量场是常数，因此这个集合是对合的。系统可以输入-状态线性化,第三步，找出状态变换z=z(x)和输入变换u=u(x,v)来实现输入-状态线性化,及上述能控性矩阵得,36,其它的状态分量为,37,3 基于输入-状态线性化的控制器设计,选择适当的正常数 a_i ，使跟踪误差的特征方程的根在左半开平面，即可保证系统指数收敛。,实际的控制输入由 给出。,38,
