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1、第六章 可压缩气体的一元流动,重 点可压缩气体的基本知识声速、马赫数一元定常气流的基本方程及特征气体在变截面喷管中的流动。,空气动力学引言,研究对象 可压缩气体运动规律及其工程应用,应用范围 航空航天、汽车等，成为流体力学独立分支,气体一元流动 1.过流断面上的平均值变化规律（非空间场） 2.气动力学的基本内容，许多问题可以简化为此类问题，发动机供气，汽轮机等。,流体力学涉及液体和气体的运动行为,例外:水击(水锤)问题，水下爆炸问题，必须考虑水的压缩性。对于气体 在V70m/s(M0.3) 仍可忽略其压缩性 当气体运动速度与声速相当时(同一量级)，必然会引起压力、密度和温度的变化，必须考虑气体
2、的压缩性。,对于液体 大部分可视为不可压流动即,状态量p,u,T(速度大,摩擦大),6.1 声速和马赫数,当气流速度比较大时，必须考虑压缩性效应。气体压缩性对流动性能的影响，是用气流速度接近声速的程度来决定的，这就涉及到声速和马赫数两个概念。,6.1.1 声速,声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度,在移动前气体的质量为 而移动后气体的质量为 根据质量守恒可得 消去 ，得 (6.1.1),动量变化和所受到的合外力冲量,消去 得 (6.1.2),声速公式(弱扰动)：,声速是反映流体压缩性大小的物理参数，声速c越小，流体的可压缩性越大。,等熵过程条件,完全气体的状态方程式,k为绝热指数,工程热力学
3、（4）沈维道，P.112,R为气体常数,(6.1.9) (6.1.10),空气,在式（6.1.9）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。,6.1.2马赫数,定义流场中某一点的速度与该点的当地声速之比为马赫数 (6.1.11),对于完全气体,根据扰动源速度u的大小分为四种情况,Ma1,Ma=1,Ma1,小于声速,等于声速,大于声速,Ma=0,扰动源不动,（1）扰动源不动。此时弱扰动沿各个方向以声速传播，其波面为同心圆球面。,（2）扰动源的速度小于声速，uc，即Ma1。此时小扰动沿向各向转播，但速度不一。扰动源赶不上波面，即波面总是在扰
4、动源前面。,（3）扰动源速度等于声速，u=c，即Ma=1。此时扰动源和扰动波同时达到某一位置，扰动波面亦在同一点相切。,（4）扰动源速度大于声速，uc,即Ma1。此时扰动源始终在波面前方，这时扰动与未扰动气体的分界面是一个圆锥面（亦称马赫锥），夹角称为马赫角。,马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用 表示。由上图可以容易地看出，马赫角 与马赫数 之间的关系为,马赫角从90这时相当于扰动源以声速v=c流动的情况 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动
5、波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以前听不到声音的缘故。,马赫数划分气体的流动状态,Ma1,Ma=1,Ma1,亚声速流,声速流,超声速流,可压缩气体流动分类,例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飞行，空气温度t=15（288K），A点要过多长时间听到飞机声？,解：,v,l,H,A,6.2 可压缩气体一元流动的基本方程式,气体流动时，若过流断面上各参数均匀分布，其状态参数只是流程的函数，这种流动称为一元流动。气体沿管道、喷管或节流器的流动等都可近似认为是一元流动。下面来讨论一元定常
6、流动的基本方程式。,6.2.1 可压缩气体总流的连续性方程式,图6.2.1可压缩性气体在流管内的定常流动,(6.2.2),1.连续性方程积分形式,2.连续性方程微分形式,6.2.2 可压缩性气体的能量方程式,由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。对于理想气体作定常流动，欧拉运动微分方程可写成沿流线的积分方程为,完全气体的等熵流动,(6.2.4),定压比热： 定容比热： 于是有：,工程热力学（4）沈维道，P.112,e在热力学中称为内能， h在热力学中称为焓 (6.2.7),这就是等熵流动的能量方程,例题,例6.2.1 设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，如图6.2.2所示。今测得罐内空
7、气的温度为40oC，又测得管道某处的温度为15 oC，求该处的气流速度u。（空气的等压比热Cp1003Nm/kgK）,解： 这类问题称为气体从大容器的出流问题。假定大容器的气流速度为零。气体的出流可视为绝热过程，空气的等压比热 ，容器内温度为 ，速度为零，由能量方程得,6.3 一元气流的基本特性,利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特定的状态参数。,6.3.1 滞止状态和滞止参数,图6.3.1 气体的滞止状态,对滞止状态截面和任一截面列能量方程有：这时焓升到最大值，即总焓，温度达最大值，总温,(6.3.1) (6.3.2),两边同除以CPT得：,(6.3.4) (6.3.5),6.3.2 最大速度
8、状态全部能量转化为动能，焓为零，速度达最大速度,(6.3.6),6.3.3 临界状态和临界参数,设想气体从滞止状态 开始，经过一管道逐渐加速流动，最后达到 。 这中间必然有一流速恰好等于当地声速的截面，即 ，这种状态就称为临界状态，对应的气流参数叫临界参数，临界参数用下标“*”表示。,以临界参数表示的能量方程,2.滞止参数（驻点参数）,设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的参数称为滞止参数,u0=0滞止点（驻点）,性质：（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3）气流中最大声速是滞止声速；（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为 内能，总能量不变T
9、0，c0，h0不变， p0，0，但p0/ 0=RT0不变。如有 能量交换，吸收能量T0，放出能量T0,3.滞止参数与马赫数的关系,由,例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30，u=250m/s，求容器中压强和温度,解：喷口处,4.气体按不可压缩处理的极限,空气 k=1.4,密度相对变化,取 Ma=0.2,取Ma=0.4,一般取Ma=0.2,t=15时，uMac=0.2340=68m/s,变截面的等熵流动,1.气流参数与变截面的关系,由连续性方程,欧拉微分方程,及,得,2.讨论,du 与dp、d、dT异号,一元等熵气流各参数沿程的变化趋势,（1）亚声速流动
10、：Au(p,T),由于,速度变化的绝对值大于截面的变化,（2）超声速流动：Av(p,T),由于,密度变化的绝对值大于截面的变化,（3）声速流动临界状态（临界参数*）,最小断面才可能达到声速,6.4.2喷管,目的,气流加速,常用类型,收缩喷管，亚声速气流加速拉伐尔喷管，亚声速加速到超声速,用途,汽轮机，压气机和火箭等气流加速,渐缩喷管,等熵假设,绝热（喷管短，流速大）理想气体,能量方程,等熵,速度公式，（圣维南定律）,适用于亚、超声速流动Saint. Venant,质量流量,流入绝对真空，,流量方程分析,，流量为0,内外压力相等，,，流量为0,存在最大流量值,求极值,求导，极值条件,此时压力为临
11、界压力,最大流量,代入圣维南公式，对应流速（临界速度，声速）,背压,喷管出口的环境压力,实际喷管的流动,，喷管内无流动,，按流速流量公式算,，临界状态，,，状态不变，保持临界压力、速度和流量,，状态不变，“堵塞”现象保持临界压力、速度和流量,证明：反证法,结论：渐缩喷管，最大加速到声速,超声速？,拉伐尔（Laval）喷管,目的,气流获得超声速的装置,常用用途,火箭发动机,原理,先收缩，后扩散,例：滞止参数为p0=10.35105Pa，T0=350K的空气进入收缩喷管，出口截面的直径d=12mm，当出口的外部环境压力Pa（背压）分别为7105Pa和5105Pa，计算喷管的质量流量,解：空气k=1
12、.4，R=287J/kgK，Cp=7R/2=1004.5J/kgK,（1）临界参数p*,解题思路：状态（过程）方程、连续性方程、能量方程、绝热方程，声速公式，马赫数公式，马赫角公式临界状态，滞止状态和最大速度状态,（2）当pa=7105PaP*,喷管出口压强,（3）当pa=5105PaP*,出口参数均按临界参数p*、T*、*,总结：公式太多，不用记，能记住最好要记住下面状态和基本公式：临界状态 Ma=1，滞止状态u=0和最大速度状态T=0,状态（过程）方程,连续性方程,能量方程,绝热方程,声速公式,马赫数公式,接下来是用上述公式去求解57面的例题滞止参数为p0=10.35105Pa，T0=35
13、0K的空气进入收缩喷管，出口截面的直径d=12mm，当出口的外部环境压力Pa（背压）分别为7105Pa和5105Pa，计算喷管质量流量,解:(1)首先计算临界压力 临界状态 ，滞止状态u0=0, 依据能量方程 ,得到 又声速公式 ,(1),由等熵方程 根据理想气体状态方程 综合上两式得到,结合上页(1)式, 由工程热力学知识,已知p0 ,进而求得,（2）当pa=7105PaP*,喷管出口压强,由上述推导过程, 对于任意压力都适用,则,由能量方程 ,可知 ,则,（3）当pa=5105PaP*,出口参数均按临界参数p*、T*、*,由上述推导公式(1),并已知 ,求得,求解这类题目,关键要记得以下三个方程,作 业,作业6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
