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1、1.1变化率与导数,(三课时),1.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,
2、它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探 究:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率
3、为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但 x的值不能为0， y 的值可以为0,2、若函数f (x)为常函数时， y =0,理解,3、变式:,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,思考,f (x2)-f (x1),x2-x1,直线AB的斜率,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(
4、2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,练习,3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,A,1.1.2导数的概念,一、复习,1.平均变化率:,平均变化率的几何意义:割线的斜率,理解：1，式子中x 、 y的值可正、可负，但的x值不能为0， y的值可以为02，若函数f (x)为常函数时， y =
5、0 3, 变式,求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,二新课讲授1瞬时速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
6、,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,一差、二比、三极限,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算x=2时的导数.,根据导数的定义,所以,练习,二、函数的导数：,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函
7、数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。,1.1.3导数的几何意义,一、复习,1、导数的定义,其中：,其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,其几何意义是？,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,1、曲线上一点的切线的定义,结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.,点P处的割线与切线存在什么关系？,新授,设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,y0+y),过P,Q两点作割,线，,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时, 如果割线PQ有一个极,限位置P
8、T, 那么直线PT叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义,T,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,导数的几何意义的应用,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.,练习,h,t,o,
