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1、变步长的龙格库塔方法,公式,7.4.6 变步长的龙格-库塔法 在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分方程数值解法也有选择步长的问题。 以经典的四阶龙格-库塔法(7.20)为例。从节点xi出发，先以h为步长求出一个近似值，记为 ，由于局部截断误差为 ，故有,当h值不大时，式中的系数c可近似地看作为常数。,然后将步长折半,即以为 步长,从节点xi出发,跨两步到节点xi+1,再求得一个近似值 ,每跨一步的截断误差是 ,因此
2、有,这样,由此可得,这表明以 作为 的近似值，其误差可用步长折半前后两次计算结果的偏差,来判断所选步长是否适当,当要求的数值精度为时：,（1）如果，反复将步长折半进行计算，直至为止，并以上一次步长的计算结果作为 。 这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要反复判断，增加了计算工作量，但在方程的解y(x)变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少，结果还是合算的。,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2 R
3、unge-Kutta Method, 高阶RungeKutta Method, Gill公式：4阶经典龙格-库塔公式的一种改进,2 Runge-Kutta Method, 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：,2 Runge-Kutta Method, 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,2 Runge-Kutta Method, 变步长的RungeKutta Method,Q: 由局部截断误差可以看出，步长 h 越小，局部截断误差越小；但步长减小，在一定求解范围（区间）内要完成的步数就增加了，步数增加会引起计算量增大，导致舍入误差积累。因此要选取适当的步长。,选择步长时要考虑两个问题： 1.如何衡量和检验计算结果的精度？ 2.如何根据所获得的精度处理步长？,HW: p.201 #6-8,
