《变量分离方程ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《变量分离方程ppt课件.ppt（22页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,2.1 变量分离方程与变量变换,Separable First-Order ODE & Transform,本节要求/Requirements/,1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。,2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解,的思想方法，求更广泛类型方程的解。,变量分离方程 与变量变换,内容提要/Main Contents/,1 变量分离方程/Variables Separated ODE/,分别是 x 与 y 的已知连续函数。,其中,特点,中的 f ( x, y )可表示成,一般的一阶方程,例,解法步骤 /Solving Steps/,如果,(1) 分离变量,(2) 两边积
2、分,(2.2),用G(y)，F(x)分别表示,的某一个原函数,(3),方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C,因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，,所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。,如果存在,直接验证得:,，使得,为方程(2.1)的常数解。,分离变量方程（2.1）的解为,解,1 分离变量,2 两边积分,3,例1 求解方程,（c 为任意正常数）,或者,求通解,解,时,(1) 分离变量,通解中，因而方程还有解 y = 0,（3）,求解方程,并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。,例2,（c为任意常数）,为方程的通解。,注意 y =
3、 0 时，也是方程的解，而其并不包含在,(2) 两边积分,求特解,将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1,则满足所给条件的特解为:,所以，原方程的解为,(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/ (2) 可化为齐次方程的方程类型 /Classifications of Homogenous/,2 可化为变量分离方程的类型/Classifications of Variable Separated Equation/,(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/,形式：,g (u)为 u 的连续函数,一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的
4、零次齐次式。,即,或 f (x,y) 可表示成以,特点：,解法,(1) 作变量变换,即 y=ux,（2）对两边关于 x 求导,（3）将上式代入原方程，得,整理,.(2.3),变量可分离方程,（4）求解方程(2.3),若其解为:,(5) 原方程的通解为:,.(2.4),( 为任意常数),例3 求解方程,解,令,( 为任意常数),令,得:,Sinu = cx （c 为非零任意数）,另当 tanu = 0 时，u = 0,即 u = 0 也是方程(2.4)的解,故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）,代回原来的变量，原方程的通解为:,可化为齐次方程的类型 /Classificat
5、ions of Homogenous/,形式：,(2.5),均为常数，且,不同时为零.,1.若,即,设,则原方程可化为:,令,（变量分离方程，即可求解）,2.若,则,.(2.6),有唯一的解:,令,则方程 (2.5) 化为：,为齐次方程, 即可求解。,(1) 解代数方程组,.(2.6),其解为:,(2) 作变换,将方程(2.5)化为齐次方程,(3) 再作变换,将其化为变量分离方程,特别地，当,时，方程(2.5)的求解方法,(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。,类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26,例4,求解方程,.(2.17),解,解方程组,得 x = 1, y = 2,令,.(2.18),再令,.(2.18),即(2.18)可化为:,两边积分，得:,因此,记,并代回原变量，得:,并代回原变量，得:,此外，容易验证:,即,也是方程(2.18)的解。,其中 c 为任意常数。,因此原方程(2.17)的通解为:,变量分离方程与变量变换,本节小结/Conclusion/,通解的形式及其中任意常数的意义。,注意/Note/：,课堂练习/Exercise/,思考以下方程的求解方法,作业: P.31. 第 2, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 18(1), 21题。,
