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1、2.3傅里叶变换性质及定理,个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析,傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。,信号可以在时域中用时间函数,表示，亦可以在频域,中用频谱密度函数,表示；只要其中一个确定，另一,氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。,内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅,的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的,当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中,变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，,中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、,一、傅里叶变换性质,1.线性,傅里叶变换的线性特性表示为,若,则,式中,为任意常数。,证 ：
2、,利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干,基本信号之和。,2. 时延（时移、移位）性,傅里叶变换的时延（移位）特性表示为,若,则,时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号,证：,线性相位。,振幅频谱，仅使信号增加一,例2.3-1 求如图2-15所示信号,的频谱函数,并作频谱图。,，,解,由上节门函数的变换,再由线性与时移性，得到,与门函数的关系为,0,的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。,3、频移性,傅里叶变换的频移(调制)特性表示为,若,则,证：,频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子,信号乘以,相乘，,则在频域中将使整个频谱搬移,。通信技术中的调制,是将频谱在,附近
3、的低频信号乘以,，使其频谱,搬移到,附近。反之，频谱在,附近的高频,使其频谱搬移到,，其频谱被搬移到附近，这就是解调。,变频是将频谱在,附近的信号,的应用。,乘以,，,附近。这些都是频移特性,实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉,这样，若有,则,这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质,公式正（余）弦信号可以表示为,也称调制特性。,例2-4 求,解： 已知,的波形以及频谱如图2-17所示。,图。,的频谱函数，并画出频谱,，利用频移性,图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱,0,0,-A,例2-5 求如图2.-18所示,解,其中,并作图。,的,，,则,图2.3-4,A,令,
4、以及,如图2-19所示。,0,4、尺度变换,傅里叶变换的尺度变换特性表示为,若,则,证：,F,，,则,令,代入上式,，,F,，,则,令,代入上式,，,F,综合,两种情况，尺度变换特性表示为,、,特别地，当,尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反,其频谱亦为原频谱的折叠，即,。,时，得到,的折叠函数,，,宽无限，反之亦然。,的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频,之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号,可以理解为信号波形压缩（扩展）,倍，信号随时间,变化加快（慢）,倍，所以信号所包含的频率分量增加,图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。,0,0,0,0,0,5、
5、时域微分特性,傅里叶变换的时域微分特性表示为,交换微、积分运算次序,若,则,证：,所以,同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换,6、时域积分特性,傅里叶变换的时域积分特性表示为,若,则,证：,特别地，当,F,时,从时域上看，一般当,利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。,，说明无直流分量 则,是无限区间可积时，即,。,0,例2-6 求如图2-21(a)所示,的频谱函数,。,（a）,解：,0,(b),如图2-21(b)所示。,0,如图2-21(c)所示,因为,最后,7、频域微分特性,傅里叶变换的频域微分特性表示为,若,则,一般频域微分特性的实用形式为,对频谱函数的高阶导数亦成立,或,证：,
6、或,交换微、积分次序,所以,同理可证高阶导数,或,例2-7 求,解：利用,的频谱函数。,，则,8、对称（偶）性,傅里叶变换的对称特性表示为,若：,则,或,证：,特别地：当,或,是,的偶函数，那么,由上式看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。,(2-54),的信号，其时域函数必为,就是说，当,是偶函数时，如果的频谱函数为,，,则频谱为,。,例2-8 已知,解,图2-22,0,如图2-22所示，利用对称性求,。,0,其对应的,例2-6的波形是如图2-23所示的对称三角波,即,比较图2-22、2-23两者变化规律相同，利用对称性可以,则,得到(只差,很方便地求出,，因为由图可以看出，,只要将,中
7、的,；,；就有,。这样一来,亦可由,的,，,数)，即：,系,利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出,利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。,与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量的运算。,例2.3-8 求,解 由时延特性，可得,的傅氏变换。,利用对称性，将上式中的,，我们得到另一对变换对,变换成,、,变换成,，并乘以系数,利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。,-1,-1,1,1,0,、,的波形与频谱如图2-24 所示。,0,利用的,的频谱函数为,傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数,F,F,F,证,F,例2.3-9 求周期单位冲激序列,解：先将周期单位冲激
8、序列展开傅氏级数,其中,的傅氏变换,即：,再求这个级数的傅氏变换,F,的频谱函数如图2-25b所示。,0,单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。,9、奇、偶、虚、实性,为实函数时，,的模与幅角、实部与虚部表示形式,为,其中,由上式可知,是,、,，是,的偶函数；,、,的奇函数。,实偶函数。,特别地,为实奇函数，则,虚奇函数。,10、时域卷积定理,傅里叶变换的时域卷积定理表示为,交换积分次序,利用时延性,若：,则,证：,由这个性质，我们可将两个时间函数的卷积运算变为两,求解信号通过系统的响应。,个频谱函数的相乘(代数)运算。由此我们可以用频域法,11.频域卷积定理,傅里叶变换的频域卷积定理表示为,若：,则,利用移频性,证：,交换积分次序,表3-1 傅氏变换性质（定理）,序号 名称 时域 频域,1 线性,2、 延时,3、 尺度,4、 频移性,5、时域微分,6、时域积分,7、频域微分,8、对称性,9、时域卷积,10频域卷积,
