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1、第五章勒让德函数及其应用,1勒让德方程及其本征值问题,连带勒让德方程,从物理上看，u (r,)代表的是一种对z轴具有旋转对称性的场。,例：一导体球放入均匀电场中，求球外电位分布。,当z轴选任意方向时，u=u (r , ,),当z轴选为电场方向时，u=u (r,),设,代入方程得：,一、勒让德方程的本征值问题,为了求解方便，作变量变换：,二、勒让德方程的级数解,理论依据：,将中方程标准化：,在|x|1内解析, |x|1内解y(x)一定是解析的,由泰勒定理：y(x)一定可展为：,将级数解代入:,推导C2j的一般表达式：,中令k=0,令k=2,令k=4,令k=2j-2,同理得：,C0 ,C1为两个任
2、意常数，y0 ,y1为两个线性无关的特解,解的收敛性：,ii) x=1,当l(l+1)时，y0, y1 均为发散的无穷级数。,当=l(l+1)时,当 kl 时，上面递推可进行：,当 k=l 时 ，Cl+20,Cl+4=Cl+6=0,y0(x)或y1(x)的前有限项不为零,当l=2j时， C2j+2=C2j+4=0,y1(x)仍为发散的无穷级数,当l=2j+1时， =(2j1)(2j+2),y1(x)中断为2j+1次的多项式,y0(x)仍为发散的无穷级数,然后利用递推公式,反推：,得：,将本征函数取为P l (x) = 常量y l (x)，并使最高次幂项xl的系数为,证明：利用二项式定理,证毕,
3、给出了勒让德函数除多项式定义之外的另一种表达形式,解释：,r=0时，Cl-2rC l，是最高次幂系数， r 越大，l-2r 越小 为保证l-2r 0 即 2rl rl/2, l/2代表不大于l/2 的最大整数, l=偶数时，P l (x)是偶次多项式 l=奇数时，P l (x)是奇次多项式,给出前几阶勒让德多项式：,三、勒让德本征值问题的解,同理：,解为：,给出前几阶勒让德多项式：,1.奇偶性,2. Pl (x)的取值,iii),iv）端点值,3. Pl(x)的微分表达式罗巨格公式,证明：不失一般性，设f (x)为实函数,分部积分一次：,分部积分k次：,特例：,所有k次多项式(kl) f (x
4、)与Pl (x)在-1,1上正交,完备性：,对于定义在-1,1上具有一、二阶连续导数的函数f (x)均可按 Pl(x) 展为绝对且一致收敛的广义付氏级数,或,例将f (x)=x2在x-1,1上按 Pl(x) 展为广义付氏级数,法一：,法二：,法三：x2是偶函数，只能用偶数阶勒让德多项式展开,设：,6.Pl(x)的生成函数公式,从历史上看，勒让德多项式首先是由势论中引出的,例：求处于 点处的单位正电荷在 点产生的电位,若选择自然单位制,设,在t=0点邻域|t|1内可展为泰勒级数,计算可得：,称 为 的生成函数,每个特殊函数都有一个对应的生成函数,利用生成函数公式证明：Pl(1)=1 Pl(-1)
5、= (-1)l,令x=1,左=,右=,左右：,比较 前系数:,应用：,R：场点 r：源点,原则上 |t|1,7.递推公式,从生成函数公式出发，可以证明：,两边对t求导：,平凡解,对x求导：,对（*）式中的x求导：,递推公式除了在理论上有用外，对于含有勒让德多项式的积分也很有用,【例】计算,五、应用举例,例1设半径为a导体球的球面温度分布为18cos2， 求解球内稳定温度分布。,解：定解问题,设u (r,)=()R (r)代入中方程及有关边条件,解得：,解：设r=et，则变为：,不需要区别l=0,迭加特解得通解：,代入边条件定解:,法一：,直接比较系数：,法二：,【例2】均匀电场E中放入一接地导
6、体球， 半径为a，求 球外电位分布,边条件：,1）r=a处，u (a,)=0（接地 ）,2）r=处,无穷远处电场分布不会受到导体球上感应电荷的影响，电场仍为匀强场。,3）=0,处仍提有界条件,定解问题,设u (r,)=()R (r)代入中方程及有关边条件,解得：,解得：,通解：,r，r -(l+1) 0，先用r=处的边条件定解：,定解：,直接比较系数：,代入通解,【例3】已知半径为a的球面上电势分布f()，球内外 无电荷分布，求球内外的电位。,球内：,通解：,定解：,球外：,通解：,定解：,无穷远处边界条件的提法：,【例4】半径为a的均匀介质球，介电常数，球外距 球心为b的Q点放置点电荷q，求
7、球内外电位。,分析：,球内：介电常数，介质球表面有极化电荷外 球内 各点均无电荷,球外：介电常数为1，除Q点有电荷q外，其它 各点均无电荷分布。,除球表面和Q点外，其它各点的电位均满足拉氏方程,由于电荷q所激发的电场的作用，使介质球出现极化电荷，对于均匀介质，只有面束缚电荷，而且可以想象这种面束缚电荷的分布一定是关于oQ轴对称的；从而由束缚电荷产生的电场，电势分布也一定是关于oQ轴对称的。,处的边条件没给定,v q点电荷产生的电位, v极化电荷产生的电位,v在球外处处满足拉氏方程：,由点电荷电位的表达式，选择无穷远处的电位为零则极化电荷在无穷远处的电位应趋于零。,在球面处提连接条件：,由构成完整的定解问题：,先将v q (a ,)利用生成函数公式变形：,比较系数得：,将u1,u2代入连接条件,解方程组得,例5一半径为a的实心导体半球，稳定时，半球面温度 为1 ，底面温度为0 ，求半球内的温度分布。,设：u (r, )R（r）（）代入中方程及有关 边条件，得：,解，由0（x=1)处的有界条件，得：,的解：,通解：,定解：,利用：,作 业,P23611.3.4 11.3.5,
