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1、数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,在本章中特别要求掌握对正态分布、 2 分布、t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用。 三大抽样分布是后面各章的基础。,第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布,(卡方) 分布,定义1: 设总体 , 是 的一个样本，则统计量,的概率密度函数为,称统计量 服从自由度为 的 分布，记作,其图形随自由度 的不同而有所改变.,分布密度函数的图形,注：自由度是指独立随机变量的个数，,性质1： 2分布的数学期望与方差,设 ，则E( ) = n，D( ) = 2n.,性质2：
2、2分布的可加性,设,则,定理1 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则,证明：,由已知，有,Xi N( ， 2)且X1，X2，Xn相互独立，,则,由定义1 :得,定理3 : 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则,(1) 样本均值 与样本方差S 2相互独立；,(4.1)式的自由度为什么是n-1？,从表面上看，,但实际上它们不是独立的，,它们之间有一种线性约束关系：,=0,这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.,定理3： 设
3、(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则,(1) 样本均值 与样本方差S 2相互独立；,与以下补充性质的结论比较：,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN( ， 2)的样本，则,其几何意义见图5-5所示.,其中f(x)是 2分布的概率密度。,显然，在自由度n取定以后， 的值只与 有关。, 2分布的上侧分位点,例如：当 n = 21， = 0.05 时，由附表3可查得，,二、 分布,定义3:,设随机变量XN(0，1)，Y 2(n) ，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为 n 的 t 分布，,记作,t分布的概率密度函数为,Tt(n).,其图象如图 5-6 所示，
4、其形状类似于标准正态分布的概率密度函数的图象。,当 n 较大时， t 分布近似于标准正态分布。,定理4,设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量,证：,由定义3得,定理5,设(X1，X2，Xn1) 和 (Y1，Y2，Yn2) 分别是来自正态总体N(1 ，2) 和 N(2 ，2)的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差。,分布的上侧分位点,对于给定的 (0 1)，称满足条件,的点t(n)为 t 分布的上分位点。,其几何意义见图5-7.,t 分布的双侧分位点,由于t分布的对称性，称满足条件,的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。,其几何意义如
5、图5-8所示.,在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表。,例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，,t0.05(15) = , t0.05/2(15) =,1.753,2.131,其中t0.05/2(15)可由Pt(15) t0.025(15)=0.025查得。,但当n45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.,即,当 n45时， t(n) u,一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.,三、F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,其概率密度函数为：,其中,其图形见图5-9 (P108)。,
6、一、F分布的上侧分位点,对于给定的 (0 1)，称满足条件,的数F (n1，n2)为F分布的上侧分位点。,其几何意义如图5-7所示。,其中f (y)是F分布的概率密度。,F 分布的上侧分位点,F(n1, n2)的值可由F 分布表查得.,附表5、6、7(P258P266 )分 =0.1、 =0.05、 =0.01给出了F分布的上分位数.,当时n1=2, n2=18时，有,F0.01(2, 18)=,6.01,在附表5、6、7中所列的值都比较小，当 较大时，可用下面公式,查表时应先找到相应的 值的表.,例如，,0.166,定理5.4,为正态总体 的样本容量和样本方差；,设 为正态总体 的样本容量和
7、样本方差；,且两个样本相互独立，则统计量,证明,由已知条件知,且相互独立，,由F分布的定义有,小 结几种常用分布的定义,正态总体样本均值的分布,设总体 ， 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布,U分布,分布,定义 设总体 ， 是 的一个样本, 则称统计量 服从自由度为 的 分布，记作 .,自由度是指独立随机变量的个数，,个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度为 的 分布。, 分布,定义5.4,设随机变量 N(0, 1)， 2(n) ，且 X与 相互独立，则称统计量,服从自由度为n的t分布或学生分布，,记作,Tt(n).,分布的密度函数的图象相似于标准正态分布的密度函数。当n较大时， 分
8、布近似于标准正态分布。,F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,例1 设总体XN(0,1)， X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,解,(1),因为XiN(0,1)，i=1, 2, , n.,所以,X1- X2 N(0, 2)，,故, t(2).,例1 设总体XN(0,1)， X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(2),因为Xi N(0,1)，,故, t(n-1).,例1 设总体XN(0,1)， X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(3),因为,所以,F(3，n-3).,例2： 若Tt(n)， 则T 2 F(1, n).,证明：,因为Tt(n)，,可以认为,其中UN(0,1)， V2(n)，,U22(1)，, F(1, n).,例3：设总体XN( , 42)， X1，X2，X10是 n=10简单随机样本， S2为样本方差，已知 PS2 = 0.1,求 .,解：,因为n=10，n-1=9， 2=42，,所以,2(9).,又,PS2 =,=0.1，,所以,14.684.,故, ,14.684 x, 26.105,
