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1、1,2.3 均差与牛顿插值公式,问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数 均要随之变化，整个公式也将发生变化. 能否重新在 中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。,2,本讲主要内容:, Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式,3,（3.1）,确定 .,基函数,是否构成 的一组基函数？,4,依此递推可得到 .,当 时，,推得,由 ，,当 时，,当 时，,推得,由,5,称 为函数 关于点 的一阶均差.,称为 的二阶均差.,定
2、义2,一般地，称,为 的 阶均差,（均差也称为差商）.,2.3.1 均差及其性质,6,均差有如下的基本性质：,这个性质可用归纳法证明.,1 阶均差可表示为函数值 的线性组合，,这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.,即,7,3 若 在 上存在 阶导数，且节点,这公式可直接用罗尔定理证明.,2 由性质1及均差定义可得,即,则 阶均差与导数关系如下：,8,均差计算可列均差表如下（表2-1）.,9,2.3.2 牛顿插值公式,根据均差定义，把 看成 上一点，可得,只要把后一式代入前一式，就得到,10,称 为牛顿（Newton）均差插值多项式.,系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差
3、，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.,其中,11,牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点.,由插值多项式的唯一性可知 Nn(x) Ln(x)，故其余项也相同，即,则,12,解 首先根据给定函数表造出均差表,给出 的函数表（见表2-2），求3次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.,例,13,2.3.3 差分与等距节点插值,实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.,设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长.,为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念
4、.,14,记号,定义,称为 在 处以 为步长的一阶（向前）差分.,利用一阶差分可定义二阶差分为,一般地可定义 阶差分为,15,一、差分的基本性质:,（2）函数值可用差分表示，如,（1）差分可用函数值表示，如,16,17,计算各阶差分可按如下差分表进行.,18,称上公式为牛顿前插公式,其余项为,利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为,19,解：先构造差分表如下：,20,取 由牛顿前插公式得,误差估计为,其中,21,2.4 埃尔米特插值,有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，,下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式.,而且还要求对应
5、的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.,22,(4.1),这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过,的多项式 ，,问题是求插值多项式 ，,设在节点 上，,一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求.在此只讨论两个典型的例子.,满足条件,其形式为,23,求满足 及,由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.,由于此多项式通过点,的插值多项式及其余项表达式.,例1,故其形式为,2.4.2 两个典型的埃尔米特插值,24,待定常数 ，可由条件 确定，,其中 为待定函数.,通过计算可得,25,显然,故 在 内有5个零点（二重根算两个）.,反复应用罗尔定理，得 在 内至少有一个零点，,构
6、造,且,故有,26,(4.2),式中 位于 和 所界定的范围内.,余项表达式为,于是,27,另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。,相应的插值基函数为,它们取值情况如下表所示。,采用基函数的方法令,(4.4),28,因为在 除函数值为零外其一阶导数值也是零，所以它必有因子 .另外， 最多是一个三次多项式，因此,29,30,31,(4.5),于是满足条件（4.3）的插值多项式是,32,33,34,35,36,于是,37,解法三：,38,39,重节点均差,定理3,由此定义重节点均差,40,类似地可定义重节点的二阶均差,一般地，可定义重节点的n阶均差,在牛顿均差插值多项式中若令xix0(i=0,1,n),则由上式可得泰勒多项式,它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为,41,例：在上例中,42,解法四：,（带重节点的牛顿插值法）,则,43,P49 13、 14、16,作业,
