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1、基于ARMA模型的 功率谱估计,贾鑫2012.12.08,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,ARMA过程定义,将广义的平稳过程x(n)表示成一个输入序列u(n)(白噪声)激励线性系统H(z)(ARMA模型)的输出,由H(z)的输出功率谱来估计x(n)的功率谱,ARMA过程定义,离散随机过程 服从线性差分方程： 为离散白噪声，则称 为ARMA过程。自回归 (autoregressive)滑动平均(moving ave
2、rage)过程,AR阶数,AR参数,MA阶数,MA参数,ARMA过程定义,ARMA过程定义,ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统传递函数：,ARMA过程定义,冲击响应系数,满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和： (系统稳定)(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|1,零点部分,极点部分,ARMA过程性质,零点的作用：决定系统的可逆性，即 可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若 (1)存在序列 ，
3、并满足 (2) 可逆系统的稳定 可逆性条件,ARMA过程性质,特例一：MA过程,有限冲激响应(FIR)系统,ARMA过程特例MA过程,滑动平均,特例二：AR过程,中含有 的无数多项,无限冲激响应(IIR)系统,ARMA过程特例AR过程,自回归,ARMA过程的Wold分解定理,Wold分解定理：任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程，可以表示成唯一的、阶数有可能无穷大的AR过程；同样，任何一个ARMA或AR过程也可以表示成一个阶数可能无穷大的MA过程。,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,则功率谱 其中,ARMA过程功率谱
4、定义,ARMA过程功率谱定义,证明设 是零均值离散时间平稳过程，取ARMA过程则：对上式两边取数学期望计算自相关函数,ARMA过程功率谱定义,由上式计算功率谱密度函数取 为白噪声 ，则有 （白噪声功率谱密度为常数， ）固有,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,Wold定理表明：一个ARMA模型可以用一个阶数足够大的AR模型来近似。相比于ARMA模型不仅需要确定AR阶数和MA阶数，还需要估计AR参数和MA参数（MA参数估计必须求解非线性方程组），AR模型相对简单，故工程上常用AR模型作近似。ARMA功率谱的线性估计方法的基本
5、思路都是首先解线性方程估计出AR参数，再通过一定的方法，将功率谱表达式转换成只需要AR参数，而不需要MA具体参数值的计算表达式。,估计方法,估计方法,AR过程的实现方法,ARMA过程的实现方法,定阶p&q,估计AR、MA参数,功率谱计算,将ARMA功率谱密度分解为两部分之和：,线性化方法一: Cadzow谱估计子,其中，取：,另一方面功率谱可做如下类似分解：,其中，取：,线性化方法一: Cadzow谱估计子,可以得到：,从而可以计算ARMA模型的功率谱：,线性化方法二: Kaveh谱估计子,将ARMA功率谱密度公式作如下变形：,为了保证上式中第二个等号相等，有：,可以看出， 具有对称性，即：,
6、从上式中第三个等式，有：,线性化方法二: Kaveh谱估计子,比较上式两边同幂次项的系数，可以得到：,从而可以计算ARMA模型的功率谱：,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,AR模型阶数确定,FPE(Final Prediction Error)准则函数AIC(An Information Criterion)准则函数MDL(Minimum Description Length)准则函数在各自准则取得最小值时的模型为适用模型 为AR模型阶数， 为激励方差， 为样本点数。,赤池，日本，1969,赤池，日本，1974,Riss
7、anen，芬兰，1983,AR模型参数估计,ARMA过程可以表示为：,其自相关函数为：,由白噪声，有：,因此，可得：,AR模型参数估计,由ARMA过程的定义式，有：,从而可以得到下式：,注意，对于一个ARMA过程而言，其MA参数在q阶以上为零，即有：,ARMA过程的自相关函数可总结为如下结构:,式中，p和q分别是AR和MA的阶数，ai和bj分别是AR参数和MA参数，r(k)是输入信号的自相关函数，h是ARMA模型的参数，当h下标小于0时，h均取零。该式是很多AR(MA)过程确定AR系数估计器的基础。,AR模型参数估计,解上述方程，就可以求出功率谱计算公式中的所需参数，进而求出功率谱。对于该方程
8、，可以采用直接解法，也可以采用Levinson-Durbin或Delsarte-Genin等阶递推算法来减小计算量。,AR模型参数估计-Yule-Walker方法,AR模型参数估计-最小二乘方法,AR模型参数估计-最小二乘方法,取目标函数：,求解方程组： 可得： 令：,即可确定AR模型参数。,引申：当同时考虑A和b二者的误差或扰动时，可获得AR参数估计的总体最小二乘法。,目录,一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例,算例,1、利用matlab自带的计算函数，实现了对信号的 AR功率谱估计。2、利用matlab自带的AR模型参数计算函
9、数，结 合YuleWalker方程，实现了对信号的功率谱 估计。3、利用YuleWalker方法，首先对ARMA模型的 AR参数进行计算，并利用LevinsonDurbin 算法实现对MA参数的估计，完成对信号的功 率谱估计。4、利用YuleWalker方法，首先对ARMA模型的 AR参数进行计算，并利用Kaveh谱估计子算 法，实现对信号的功率谱估计。,算例,估计信号如下：x = cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n);采样频率：Fs=1024傅里叶变换数：nfft = 512;,算例1、 AR matlab各种自带函数,算例1 AR ma
10、tlab自带函数,可以看出利用matlab的自带函数，各种估计方法所得的结果非常接近接下来我们就考察AR参数的不同对估计结果的影响了，有了上一结论，我们可以只采用一种算法来进行不同AR阶数的估计比较即可。,算例1 AR matlab自带函数,AR阶数的选取对于估计的结果又一定的影响,算例2 AR matlab确定参数 自解方程,算例3,ARMA 修正YuleWalker LevinsonDurbin算法,算例3,ARMA 修正YuleWalker LevinsonDurbin算法,算例4,ARMA 修正YuleWalker Kaveh估计子,算例4,ARMA 修正YuleWalker Kaveh估计子,The end,
