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1、基于数学核心素养的课程与教学重构,讲座内容一、核心素养提出的背景二、数学核心素养的生成与评价三、基于数学核心素养的课程重构四、基于数学核心素养的教学转型,一、核心素养提出的背景,（一）对课程改革检视1. 课程理论基础不协调一门课程的设计，应当有理论基础。从这一轮课程改革的整个框架分析，是以人本主义为基础设计的，但是，其间又加入了行为主义、认知主义的教育理论，同时又把建构主义、情境认知理论作为教学的理论依据，这样就使整个基础变成一个拼盘式结构，造成理论基础的混乱。以三维目标为例分析：,各目标所依托的理论是不同的，这就是造成实践层面困难的原因所在。,知识与技能,过程与方法,情感态度价值观,行为主义
2、,认知主义,人本主义,2.教学矛盾激化,（1）知识与文化的矛盾。这里是指在学科领域的教学中，是偏重学科的知识性还是偏重学科的文化性，是注重知识体系的传授还是强调人类文化的传承。（2）理论与应用的矛盾。教学是偏重知识的理论价值还是偏重知识的应用价值。（3）预设与生成的矛盾。教学设计是注重预设还是注重生成。,（4）结果与过程的矛盾。教学是偏重知识发生过程还是偏重知识的结果。（5）演绎与归纳的矛盾。在教学中，应当以演绎的形式展示教学内容还是以归纳的形式展示教学内容，应当以培养学生的演绎能力为主还是以培养学生的归纳能力为主。（6）证实与证伪的矛盾。是以证明一些结论的真实性，保证学生能确信知识的真理性从
3、而接受这些知识为主要形式，还是应当将“证明一些东西是假的”即证伪方法引入到教学中。（7）论证与实验的矛盾。在理科教学中，偏重论证还是偏重实验。,3.教学评价脱节,当前教学的最终评价还是沿守单一的考试形式，不仅没有淡化评价的甄别与选拔功能，反而使这种功能的张力愈来愈强。多元化的评价指标没有建立，三维目标中过程与方法、情感态度与价值观的评价没有实现。这样，事实上带来了两个问题：对新课程本身的评价无法实现，即课程改革的合理性、科学性、正确性无法验证；新课程实施效果无法检测，即教学效果与课程目标的一致性无法检测。教学评价的研究严重滞后。,（二）核心素养的提出,1.国际背景近些年，世界各国不断推进课程体
4、系的改革。国际课程改革发展的一些共同发展趋势与特点：关注学生发展，强调培养适应现代社会所需的能力；强调课程的整合性，注重学科之间的相互融合；在课程中融入了质量评价标准，强调问责。世界各国的课程标准中出现了“关注学生的发展，培养学生核心能力”的趋势，推动了学生核心素养(key competencies)的研究和模型的制定。,第一类：核心素养独立于课程体系之外，由专门的机构进行研制和开发，再逐渐形成与课程和教学相融合的模式，代表者有美国、澳大利亚和台湾地区等。第二类：在国家课程体系中规定要培养学生哪些核心素养，并由此指导课程内容的选择与设置，代表国家主要是芬兰。第三类：没有对学生的核心素养体系单独
5、地作出规定，而是在国家课程体系中体现培养学生核心素养的宗旨，代表国家主要是日本和韩国。,2.国内的研究,教育部哲学社会科学重大攻关项目“义务教育阶段学生学业质量标准体系研究”课题组，提出基于学生核心素养的课程体系建构设想，认为构建基于核心素养的课程体系应至少包含具体化的教学目标、内容标准、教学建议和质量标准四部分。其中，教学目标和质量标准要体现学生的核心素养，内容标准和教学建议要促进学生形成核心素养。辛涛等(2013)提出我国基础教育阶段学生核心素养概念的内涵，在核心素养的遴选时要遵守素养可教可学、对个体和社会都有积极意义、面向未来且注重本国文化这三个原则。,教育部关于全面深化课程改革，落实立
6、德树人根本任务的意见于2014年3月30日正式印发，明确界定了核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。目前，教育部正在组织专家对高中课程标准进行修订，要求把学科核心素养作为修订课程标准的主线，围绕学科核心素养制订教学内容、评价标准和教材编制。,3.核心素养框架公布,总体框架中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为
7、国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，可针对学生年龄特点进一步提出各学段学生的具体表现要求。,二、数学核心素养的生成与评价,数学核心素养如何评价,数学核心素养水平划分,数学核心素养生成本源,（一）学科核心素养生成的本源,1.对知识与能力认识的历史纷争形式教育与实质教育是对教育目的认识的两种相对立的教育理论，前者认为教育旨在使学生的官能或能力得到发展；后者认为教育的目的在于使学生获得知识和生活的必备技能。两种理论的本质是对知识与能力孰轻孰重的考量。,形式教育思想可以追溯到古希腊。苏格拉底强调知识的普遍有效性和道德价值，注重形式和方法而不是内容。柏拉图认为学习即某些理念（能力、观念）由里向外
8、的发展。在亚里斯多德看来，教育的目的在于发展心灵的最高方面理智，理智教育是教育的最高任务。形式训练说。教育的主要目标不是掌握知识或技能，而是发展和增强心灵的能力。,18世纪末19世纪初，由于资本主义经济的迅猛发展，机器生产和工业社会要求学校教育培养具有一定实用知识的人，形式教育已经不能满足当时社会的需求。形式教育的理论遭到理论界的许多质疑，如詹姆斯和桑代克先后用实验证实了形式训练说的不实。赫尔巴特摒弃了官能心理学思想，认为教育的目的不在于官能训练，而在于提供适当的观念来充实心智，因此赫尔巴特主张在教材中知识的系统性和整体性。,形式教育与实质教育各执己见虽有历史时代的原因，但是这种割裂了知识与能
9、力的作法毕竟存在很大缺陷。知识与能力有不可分割的内的联系，它们不是相互独立或相互排斥的。知识与能力的关系，信息加工心理学给出了更加彻底的描述。把知识分为陈述性知识和程序性知识，前者指“是什么”的知识，后者指“怎么做”的知识。按照这种对知识的广义分类，传统意义上的知识对应于陈述性知识，技能对应程序性知识。,基础知识,技能能力,广义知识观,传统知识观,2.知识是学科核心素养生成的本源,休谟提出了“两种知识”的理论。他认为: 人类理性的一切对象可以自然分为两种，就是观念的关系和实际的事实。康德也把人类的知识概括为以下两种: 一种是“经验知识”，仅仅后天地、即通过经验才可能得到的知识；另一种是“纯粹知
10、识”。可以将知识概括为个体知识和客观知识。,如果说客观知识是学科核心素养形成的外部资源，那么个体知识就是学科核心素养形成的内部资源。作为中小学生而言，经验主要有两类，一类是从日常生活中获得的经验，一类是在学习中获得的经验，后者其实就是个体把客观知识内化为个体知识形成的经验，从这个意义上说，客观知识作为一种外源变量通过个体知识这个内源变量去实现学科核心素养的生成。,（二）学科核心素养生成的实现,我们提出如图的一个基本框架，反映了学科核心素养生成来源、生成机制和生成结果。学习者对客观知识的学习分为三个水平，由低到高依次是知识理解、知识迁移、知识创新，每一种学习水平对应生成学科核心素养的一级水平、二
11、级水平、三级水平。每一种学习水平都与个体知识相互作用，例如，通过知识理解，形成新的认知结构和经验系统，这些经验又会对知识理解产生反作用，促进知识理解水平的实现。,1.知识理解,知识理解的涵义知识的理解的第一层涵义，是指学习者对知识的本质、类属以及与其他知识之间的种种联系的理解。知识的理解既是一个过程，即学习者利用已有经验和已学过的知识去同化或顺应新知识的过程；又是一种结果，即对新知识的把握和领悟。,知识理解的第二层涵义，是指基本技能的形成和发展。一方面，知识的理解不能脱离知识的应用，应用是理解的必要环节。另一方面，无论是陈述性知识还是程序性知识，知识本身就蕴涵了方法。数学核心素养一级水平的表现
12、,（1）了解知识产生的缘由。知道知识从何而来，明白知识产生的理由。有对知识产生和发展的经历，形成了一定的活动经验。,（2）理解知识形成的结果。能够把握知识的过程与对象二重性，掌握基本的事实和结论；明确概念的内涵、外延，形成概念体系；理解规则与法则的结构、使用的条件，形成命题体系；掌握蕴涵在知识中的基本方法。,（3）解决数学的基本问题。能够辨析概念，在知觉水平和思维水平上应用概念；能使用简单知识、基本规则和基本方法解决简单的数学问题。,2.知识迁移,知识迁移的涵义知识迁移是指学习者把理解的知识、形成的基本技能迁移到不同的情境中去，促进新知识的学习或解决不同情境中的问题。知识迁移是知识在新情境中的
13、应用。所谓新情境是指不同于学习这个知识时的情境，因此，知识迁移不是知识的简单应用，不是知识的模仿应用。,知识迁移是知识的综合应用。解决一个问题时，用到的知识或方法可能不是唯一的，往往涉及多个知识或多种方法，这就需在学习者有丰富的知识资源，并能选择有用的资源在新的情境中进行组合，因此，知识迁移是多个知识或多种方法向一个目标的迁移，是多个旧情境中的知识向同一个新情境迁移的过程。知识迁移是跨情境的、多种知识综合的应用。,学习者学科核心素养二级水平的具体表现为：,（1）能够将知识迁移到不同情境中去，解决与知识相关的现实情境问题、数学内部不同情境问题、不同学科情境问题。,（2）能够理解知识之间的逻辑关系
14、，掌握与知识相关的思想方法，能够判断知识迁移的准确性和有效性。,（3）能够解决需要多种知识介入、多种方法运用的常规性复杂问题。,3.知识创新,知识创新的内涵知识创新是指学习者能够生成超越教材规定内容的知识，或者对问题进行推广与变式得到一个新的问题。“创新”是相对学习者而言的，对于他们来说是新知识、新方法。以自我的“发现”得到的知识，就是知识创新。,对问题推广变式,对学习内容拓展,形成数学思维,知识创新,数学关键能力的三级水平表现,（2）生成超越教材规定内容的数学知识；能够对数学问题进行变式、拓展和推广，提出富有见解的数学猜想，并能证伪和证实猜想。,（1）能够灵活运用知识和方法解决探究性、开放性
15、等非常规性问题。,（3）能够用数学的思维方式去观察和分析事物，形成严谨的数学思维。,（三）数学核心素养评价的一个框架,根据知识理解、知识迁移、知识创新的描述，一级水平考察学生的基础知识与基本技能掌握情况，二级水平考察学生问题解决的能力，三级水平考察学生的学科思维水平，转变传统意义上“教知识考知识”的模式为“教知识考能力”模式，是教育理念的转型。（1）这个评价框架是针对测量学科核心素养的“关键能力”设计的，不适合用于核心素养中“必备品格”的评价。例如，不适合测量物理核心素养中的“科学态度与责任”。对于学习中的情感因素，可以设计另外的评价体系进行评价。,（2）一般说来，一道题目旨在测量某种或多种学
16、科核心素养，题目最好分为三个小题，由低到高分别测量学科核心素养的三种水平，国际上通行的PISA试题的编制方法就是这种思路。几个数学试题分析,三、基于数学核心素养的课程重构,（一）目前的工作1.课程标准修订的依据统筹小学、初中、高中、本专科、研究生等学段。进一步明确各学段各自教育功能定位，理顺各学段的育人目标，使其依次递进、有序过渡。统筹各学科。充分发挥人文学科的独特育人优势，进一步提升数学、科学、技术等课程的育人价值。加强学科间的相互配合，发挥综合育人功能，不断提高学生综合运用知识解决实际问题的能力。,统筹课标、教材、教学、评价、考试等环节。全面发挥课程标准的统领作用，协同推进教材编写、教学实
17、施、评价方式、考试命题等各环节的改革，使其有效配合，相互促进。统筹一线教师、管理干部、教研人员、专家学者、社会人士等力量。围绕育人目标，协调各支力量，形成育人合力。统筹课堂、校园、社团、家庭、社会等阵地。,2.基本任务,任务1：研究制订学生发展核心素养体系研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀； 更加注重自主发展、合作参与、创新实践。普通高中各学科核心素养一览表,任务2：研究制订学业质量标准,研究制订中小学各学科学业质量标准。根据核心素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应
18、该达到的程度要求，指导教师准确把握教学的深度和广度，使考试评价更加准确。各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中。,任务3：修订课程方案和课程标准,依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和中小学课程教学有关标准。指导思想： 努力构建坚持立德树人方向、遵循教育规律、富有时代精神、具有中国特色、体现国际发展趋势的普通高中课程体系。修订原则： 以人为本、深化改革、科学设计、综合统筹。,学制：三年课时：每学年41周（教学+社会实践）；周35课时；每课时45分钟； 18课时为1学分。 结构：必修、选修、选修 必修：共同基
19、础。（全修全考，毕业标准）,3.高中课程标准框架,选修：根据个人需求和升学考试要求选修，由国家根据学生专业倾向和个性发展需要设置。（选修选考）选修：自主选修，包括国家在必修与选修基础上设置的拓展、提高性课程和校本课程。（学而不考、学而备考或学而助考）,（二）一个课程开发的实例,清华大学附属小学以“为聪慧与高尚的人生奠基” 为办学使命，确定附小学生核心素养为：家国情怀、公共道德、身心健康、社会参与、学会学习、国际视野，构建了基于学生核心素养发展的 “ 课程”模式。,第一件事：研制 质量目标指 南 和 课堂乐学手册。学校利用了近十年时间，在语文、数学、英语三门学科率先完成了“学科课程标准质量目标指
20、南教材课堂乐学手册学科教学”体系的建构，搭建起了课程标准、教材、教学之间的两座桥梁。首先，依据国家课程标准，在学情分析的基础上，研发了学科目标体系，编制了每学年一册的语文、 学、 英语的 质量目标指南。,指南梳理了每个年级学生应当达到的学习水平，明确每个学年学科知识、能力的经纬线，教师以此为依据，就能比较清楚地把握教学目标及 教学重难点。在 指南补充大量课程资源，以语文 指南为例，就提供了基础与拓展字词表、识字小窍门、常用字字理、书法小讲堂、名家名篇推荐、必读选读书目推荐、必背古诗词、必背儿童诗及现代诗、必背古文经典等。在 指南的基础上，进一步编制落实每一课堂教学目标的 课堂乐学手册。, 手册
21、 为每一课精读精学的教材内容设计了 “ 乐学单”，其中都 分为三个板块：预 学、共学、延学。预学是让学生自主建构知识和发现不懂的问题，带着准备和疑问走进课堂，使教师的教学更有针对性。共学是以问题串的形式呈现学习内容，以小 组合作为主要学习方式，师生、生生合作解决问题，学生在质疑、释疑的循环中获得持续的提高。延学则是学生带着更深层次的问题在课后继续思考，鼓励学生应用知识解决实际问题。,第二件事：整合课程。将国家十几门课程整合为五大领域：品格与社会、体育与健康、语言与人文、数学与科技、艺术与审美，每个领域内既有原有的学科课程，又实现互补。例如，数学与科技领域内，配合国家数学和科学课程的内容和进度，
22、补充相应的数学与科学游戏、数学与科学阅读等相关整合内容。第三件事：改革课时设置。 学校首先充分保障了国家课程的落实，同时每天下午都有至少一节整合课程；给学生大量可以自主选择的时段和平台；人性化地安排长短课时。,四、基于数学核心素养的教学转型,（一）知识教学与文化教学相结合第一，要正确认识知识与文化的关系。知识是部分，文化是整体，文化教育涵盖了知识教育，两者本身是没有矛盾的。第二，教育是以知识教育为核心的文化教育。在数学研究中，研究出一个结论，这就是科学；为什么要研究这个对象，是怎么研究的，这个结果的价值何在等等，这些就是数学文化。,为什么要研究这个问题,是怎么研究这个问题的,这个结论有何价值意
23、义,与数学史相关，在数学史中去寻求答案。与产生这个问题的缘由有关，是社会需求还是数学发展需求，可以揭示原因。,与数学方法论相关，可揭示数学思想方法。与数学家的精神、态度相关，可彰显科学家的精神。,有什么科学价值？有什么社会、经济建设应用价值？有什么数学美学价值？有什么思维训练价值？,案例1：椭圆的教学从历史上看，古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两种圆锥曲线的。在阿波罗尼斯（Apollonius）之前，希腊人（如梅内克缪斯）利用垂直于母线的平面去截顶角分别为直角、钝角和锐角的圆锥，得直角圆锥曲线（即抛物线）、钝角圆锥曲线（双曲线）和锐角圆锥曲线（椭圆），圆锥曲线的基本性质是直接从圆
24、锥上得到的。,阿波罗尼斯在圆锥曲线中则将同一个斜圆锥被不同位置的平面所截得的曲线定义为圆锥曲线，阿波罗尼斯同样直接从斜圆锥上得到圆锥曲线的基本性质，其中椭圆的基本性质是：若从椭圆上任一点 P 向直径 AB 引垂线，垂足为 Q，则为常数（如图 ）。,17 世纪，笛卡儿（Descartes）几何学对圆锥曲线方程的研究导致人们对圆锥曲线画法的探求法国数学家舒腾（Schooten）给出了椭圆的 3 种作图工具，其中一种即利用了焦半径之和为常数的性质，如图所示。,法国数学家洛必达（Hospital）在圆锥曲线分析中抛弃了古希腊人的定义方法，将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹，据此推导椭
25、圆的方程直到 1822 年，比利时数学家旦德林（Dandelin）在一篇论文中才利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上导出椭圆的焦半径性质，从而在古希腊的截线定义和 17 世纪的轨迹定义（现称椭圆的第一定义）之间架设起一座桥梁根据上面的历史考察，椭圆的历史大致可以分成椭圆的发现截线定义的形成基本性质的推导,焦半径性质的获得机械作图的产生轨迹定义的确立椭圆方程的推导等 7 个重要环节。教材通常只截取了最后 3个环节，尽管这样的处理方式相当简洁，但对照发生教学方法，它存在如下不足：（1）没有交待为什么我们要研究椭圆，因而未能让学生产生足够的学习动机；（2）没有将椭圆概念建立在学生已有的知识基础之上，椭
26、圆的引入相当突兀，学生几乎未能感受到椭圆知识的形成过程；（3）没有体现数学文化元素，消解了文化色彩而呈现出数学冰冷的一面。教学设计,由于高中生已经有相当丰富的现实生活经验，可以设计几个现实生活中遇到的问题来引入椭圆概念。,首先，让学生回顾切线长定理，并提出如下问题：（1）问题 1：过球外一点，可作出球的多少条切线？切线长有什么关系？（用乒乓球与铅笔演示）（2）问题 2：把乒乓球放在水平桌面上，问：球和桌子有几个公共点？他们有怎样的位置关系？问题 3：把乒乓球放在透明圆柱里（球半径和圆柱底面半径相等），球与圆柱之间有怎样的位置关系？（用事先准备好的教具演示） 接下来，在针对问题 3 所展示的透明
27、圆柱内斜放入一个椭圆形硬纸片（调整倾斜角，使其恰好与圆柱面相合），并与乒乓球相切；再放入一个乒乓球，与圆柱和纸片同时相切。如图,问题 4：分别记两个乒乓球与椭圆纸片的切点为F1 和F2 ，在椭圆上任取一点 P，点 P 所在圆柱母线与两球分别切于点 A 和B。 PF1+PF2与线段 AB 有怎样的大小关系？,在得出等式PF1+PF2=AB之后 ，引入椭圆焦点概念，总结椭圆焦半径性质，并据此给出圆柱的机械画法然后给出椭圆的轨迹定义。,案例2：合并同类项的教学合并同类项的教材方案合并同类项的改造方案,在知识引入的情境设置中加入文化元素在知识产生的历史过程中渗透文化元素在知识蕴涵的思想方法中解析文化元
28、素在知识应用的社会环境中欣赏文化元素,（二）结果性知识与过程性知识相结合指向核心素养发展的教学，就是要摒弃单纯的知识结果教学格式，将知识的产生和发展过程嵌入教学的过程之中，过程与结果相互整合、相得益彰。完整的教学应当是：知识从何而来？知识是什么？知识往何而去？,知识从何而来？,知识往何而去？,这个知识的本质是什么？,教师在作教学设计时，要思考一些问题：为什么要学习这个新知识？这个知识与以前学习过的哪些知识有联系？这个知识与前面学习的知识是什么关系？这个知识产生的过程有现实背景吗？用什么方式把这个知识生成的过程表现出来？这个知识蕴涵的数学思想方法是什么？这个知识是否有应用背景？这个知识会怎么发展
29、？这个知识与后面要学习的哪些知识有联系？,案例3：幂函数的教学设计方案1：（1）幂函数的定义：函数叫做幂函数，其中 是常数。（2）讨论函数的定义域。（3）给出一组正例进行强化。（4）由函数的图像讨论函数的性质。,（5）举例。（6）练习。这个设计，基本上突出的是双基，要学生理解幂函数的概念，会利用幂函数的概念解决基本的问题。教学中只是注重知识的结果，没有对知识产生的过程作出交待。改进教学方案：,（1）给出一组实例，让学生观察它们的共同属性。（2）概括、归纳出幂函数的定义。（3）讨论函数的定义域。（4）作出上述函数的图像，并观察它们的特征和规律，从中概括出幂函数的性质。（5）举例。（6）练习。,（
30、三）学科性知识与实践性知识相结合把某一学科内部的知识称为学科性知识，与该学科知识相关的其他学科知识或与该学科相关的现实生产生活知识称为实践性知识。指向核心素养发展的教学，就是要走出学科性知识教学的围栏，将实践性知识融入教学的过程之中，学科性知识与实践性知识相互渗透、共同作用。案例4：小学数学真实性问题解决的调查研究1. 研究目的2. 研究方法,2.1 被试 北京市两所普通小学的四、六年级的学生148人，其中四年级75人，六年级73人。2.2 调查工具真实性数学问题:1.马丽有个朋友，张华有个朋友，他们想在一起举行一个生日聚会，他们都邀请了各自所有的朋友，并且他们这些朋友都参加了，请问参加聚会有
31、多少个朋友？,2.小军买了根2.5米长的木头，如果他用锯子锯，他可以得到多少根1米长的木头?3.如果你把升80度的水和升40度的水都倒入一个大容器中，请问大容器中水的温度是多少度？4.有450名新兵需要用汽车把他们运到训练场。每辆汽车只能运36名新兵，请问需要多少辆汽车？5.小华跑100米的最好成绩是17秒，问他跑1000米需要多少时间？6.小红和小亮到同一所学校上学，小红家离学校8千米，小亮家离学校3千米。请问小红家和小亮家相距多少千米？,7.老师给4个学生18个气球，他们想平分这些气球。请问每个学生可以得到多少个气球？8.小华的姐姐生于1978年，现在是2001年。小华的姐姐多少岁？9.王
32、老师想要用一根足够长的绳子把两个相距12米的杆子拉紧，但是现在只有1.5米长的绳子。请问他需要把多少根绳子系在一起？10.一个水龙头正在匀速给一个圆锥形瓶子注水。如果10秒钟后水面的高度为4厘米，请问30秒钟后水面的高度为多少厘米？11.船上有48只绵羊，10只山羊，请问船长的年龄有多大？,12.羊群中有125只绵羊，5只山羊，请问放羊人多大岁数？2.3 编码方案将解答分为4种情况:（1）真实解答：即学生考虑到真实情境（2）常规解答：没有考虑到真实情境（3）其他解答：无法归类的答案（4）无解答,3. 结果分析3.1 被试解答真实性数学问题的整体情况,3.2 每道真实性问题解答的具体情况4. 结
33、论（1）我国小学生的缺少常规对照题的情况下，对真实数学问题作出真实性解答的人数比例约为四分之一。（2）对真实数学问题作出常规解答的人数比例显著高于作出真实解答的人数比例。（3）六年级学生作出真实解答的人数比例普遍高于四年级。（4）小学生对不同真实问题的反应存在一定的差异。,（四）外显性知识与内隐性知识相结合内隐性知识指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识。包括知识的文化元素、知识的过程元素、知识的逻辑元素、知识的背景元素等。内隐素性知识是一种客观存在的知识，它是被外显知识所包裹的知识内核。,数学材料背景知识,数学文化,数学学科逻辑知识,外显的结果性知识,过程性知识,对知识产生的
34、体验,对知识发展的体验,对知识结果的体验,对知识应用的体验,知识的引申与拓展,案例5：内隐素材性课程资源开发的一个实例求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。问题1：如图，已知：ABAC，P是BC边的中点。PEAB，PFAC。求证：PFPE。,问题2：ABC中，ABAC，P是底边上一点，PFAC，PEAB。则PEPF常数。,问题3：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关系？,A,B,C,D,E,F,P,此时，ABP的面积 ACP的面积 ABC的面积因此，很自然地得到：PEPF常量。问题4：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的
35、等量关系？,ABC的面积PAB的面积PBC的面积PCA的面积,如果ABC是等边三角形，则可得PEPFPGCD常量。,可以继续探究，得到如下结果：如图2，ABC中，三边AB，BC，AC上的高分别为h1，h2，h3。P是形内任一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为d1，d2，d3。求证： + + =1 。,问题5：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论？（PDPEPF常量）,（五）证实性知识与证伪性知识相结合教学应当是一种由知识的不确定性到知识确定性的渐进过程。知识的不确定性阶段是指提出问题和判断问题，证伪在这一阶段伴演着重要角色；知识的确定性阶段是对知识的确认，证实在这一阶段起着重要作
36、用。设置探究性问题增加适当的错题介入开放性问题案例4：一道探究性问题,大家都知道菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。（1）已知菱形相邻两个内角的度数，我们定义菱形的“接近度”为这两个内角度数差的绝对值，于是，这个绝对值越小，菱形越接近正方形。 请回答问题：若菱形的一个内角为70度，则该菱形的“接近度”等于 ；,当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。（2）已知矩形相邻两条边长，将矩形的“接近度”定义为相邻两条边长差的绝对值，于是，这个绝对值越小，矩形越接近于正方形。 回答下列问题：你认为这种说法是否合理？为什么？ 如果你认为不合理，请你给出矩形的“接近度”一个合理定义。,
