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1、,2,一、重点与难点,重点：,难点：,分式线性变换及其映射特点,分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射,3,二、内容提要,共形映射,分式线性映射,一一对应性,保角性,保圆性,几个初等函数构成的映射,分式线性映射的确定,对确定区域的映射,保对称性,4,1. 的几何意义,正向之间的夹角.,5,的一条有向光滑曲线,之间的夹角.,6,2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.,3)保角性,方向不变的性质, 此性质称为保角性.,夹角在其大小和方向上都等同于经过,7,4）伸缩率,方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.,8,2.共形映射（保角映射）,也称为第一类共形映射.仅保
2、持夹角的绝对值不,变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射,质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.,9,称为分式线性映射.,任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的,分式映射复合而成:,3.分式线性映射,10,分式线性映射的性质,1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.,2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.,11,注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.,12,4）分式线性映射具有保对称性.,这一性质称为保对称性.,13,4.唯一决定分式线性映射的条件,14,判别方法:,对确定区域的映射,在分式线性映射下, C的内部不是映射成,方法1,在分式线性映射下, 如果在圆周C内
3、任取,若绕向相反, 则C,方法2,15,分式线性映射对圆弧边界区域的映射:,16,5. 几个初等函数所构成的映射,17,特殊地:,因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射.,18,如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.,特殊地:,映射特点:,19,三、典型例题,解1,利用分式线性映射不变交比和对称点,20,由交比不变性知,21,解2,由对称点的不变性知，,利用不变对称点,22,解3,将所求映射设为,利用典型区域映射公式,23,例2 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ,且满足条件,解,因 映成 的映射为,24,25,例3 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ，且满足条件,解,26,与 互为反函数，,27,故,28,解,29,例5 试证明在映射 下, 互相正交的直线族 与 依此映射成互相正交的直线族与圆族,证,30,由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，,故命题得证.,证毕,31,例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.,由分式线性映射的保圆性知：,将铅直带形域,32,为所求映射.,33,放映结束，按Esc退出.,
