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1、,第2章 单层板的刚度和强度,1,3,2,1,正应力的符号：拉为正，压为负；剪应力的符号：正面正向或负面负向为正，否则为负。,2.1 单层板的正轴刚度,2,1,(1) 纵向单轴试验,e2,e1,s,2(T),1(L),= P/A,1,(2) 横向单轴试验,= P/A,2,(3)面内剪切实验,t,12,M,M,x,薄壁圆管扭转试验,2,1,(4) 单层板的正轴应力-应变关系,利用叠加原理：,缩写为,模量分量与工程弹性常数的关系,模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵互为逆矩阵,单层板的正轴刚度有三种形式,工程弹性常数,由简单试验(如拉伸、压缩、剪切、弯曲等)获得或用细观力学方法预测，具有明显的物
2、理意义、更直观。,柔量分量,应变-应力关系式的系数，用于从应力计算应变，它与工程弹性常数的互换非常简单,模量分量,应力-应变关系式的系数，用于从应变求应力，它是计算层合板刚度的一组基本常数,可以互换，各有用处,刚度性能必须满足互等关系式：,测量的数据不准确；进行的计算有错误材料不能用线弹性应力-应变关系式描述,如果不满足,4个独立的常数，E1,E2,12和G12,模量或柔量都存在对称性,单层的弹性模量、具有重复下标的柔量分量及模量分量均为正值。,由式（2-11）知， Q11 = M E1 ，M 0，利用式（2-17） 可得,或,工程弹性常数的限定条件,弹性常数的限制作用,突破传统材料的概念，大
3、胆设计复合材料可以用来检验材料的试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致解微分方程时，确定合适的工程实用解,对于各向同性材料，已知E、G、，求Qij和Sij？,(3)求模量分量,材料的主方向往往和几何上适应解题要 求的坐标轴方向不一致斜铺或缠绕,2.2 单层板的偏轴刚度,x,单层的偏轴刚度为单层非材料主方向的刚度。,复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。,例如，当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态是偏轴下给出的（即计算坐标系一般设在圆柱壳的轴向和周向），因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（或应变）的转换。,2,y,x,y
4、,单层的偏轴应力状态及应力的转换,2,2.2.1 应力转换和应变转换(1) 转换的术语,12,t,s,1,x,y,y,t,xy,s,y,s,2,(1) 转换的术语,X，y表示偏轴向。单元体外法线方向x 与材料主 方向1之间的夹角为，角称为单层的方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角逆时针转向为正，顺时针转向为负。,坐标转换角（材料力学） 它表明坐标转换前后的夹角。规定由转换前的轴（旧轴）转至转换后的轴（新轴），逆时针转向为正，顺时针转向为负。,偏轴至正轴的转换 = + 正转换正轴至偏轴的转换 = - 负转换,(2) 应力转换公式,应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。 由偏轴至
5、正轴的应力转换,缩写为,方阵 称为应力转换矩阵,式中 m = cos，n = sin。,由正轴应力求偏轴应力的公式,(3)应变转换公式,由偏轴应变分量求正轴应变分量的公式,由正轴应变求偏轴应变的公式,T,-,Q,ij,T,Q,ij,(i, j =1, 2, 6),(i, j =1, 2, 6),正轴应力,正轴应变,偏轴应变,偏轴应力,偏轴应力-应变关系的建立过程,s,2,12,t,s,1,2.2.2 单层板的偏轴模量,x,x,y,s,(1) 利用应变正转换将偏轴应变转换为正轴应变,(2) 利用正轴应力-应变关系式（2-12）得到偏轴应变与正轴应力的关系 ，由式（2-12）得到,(3) 利用应力
6、的负转换得到偏轴应变与偏轴应力的关系。 将式（a）代入式（2-26）得,正轴模量的线性组合,偏轴模量的特性,举例：,Q11,常数,低频变量,高频变量,不随角度的变化，是刚度的有效量值,s,x,s,y,xy,t,s,2,12,t,s,1,x,xy,y,e,偏轴应变-应力关系的建立过程,-,S,ij,+,S,ij,(i, j =1, 2, 6),(i, j =1, 2, 6),正轴应变,正轴应力,偏轴应力,偏轴应变,2.2.3 单层板的偏轴柔量,2,12,1,y,x,x,s,T,T,（ 1） （a）到（b）是从偏轴应力到正轴应力的正转换,（2） （b）到（c）由正轴应力求正轴应变用正轴物理方程,（
7、3） （c）到（d）由正轴应变到偏轴应变做负的转换,倍角函数形式的偏轴柔量公式,2.2.4 单层板的偏轴工程弹性常数,正轴工程弹性常数 (E1、E2、G12、12 ） 实测 ，可直接引用偏轴工程弹性常数 实测困难 偏轴实验会产生多种变形的耦合作用 由已知的偏轴应力-应变关系式来推求,单层在偏轴向受单轴应力或纯剪应力时的刚度性能参数,（1）偏轴工程弹性常数的定义,设x0，y=xy=0,式中,G,xy,为剪切弹性模量,；,和,为剪拉耦合系数,；,和,为拉剪耦合系数,。,耦合系数,无量纲,表明由一种外力引起另一种基本变形的应变与此种外力引起相应的基本变形的应变之比。,以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分
8、量的关系式,=,耦合系数之间一般没有对称性,（2） 偏轴工程弹性常数间的关系,t,选取不同的方向角,调整各种刚度的比值,（3）偏轴工程弹性常数的方向性,奇函数,偶函数,非主方向的xy坐标系下受力的正交各向异性单层板的工程常数为：,通过上述分析可见：正交各向异性单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度变化的。琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向。设计材料,l,E,x,、,E,y,、,G,xy,x,、,y,是,的偶函数，,xy,，,x,、,xy,，,y,、,x,xy,、,y,，,xy,是的奇函数,l,拉伸,（或压缩）弹性模量,的方向性,
9、单向复合材料,方向的拉压模量由纤维模量控制，取值最高；,方向由基体控制，取值最低；,纤维模量越大，含量越高，两者差异就越大,正交织物复合材料,和,方向拉压模量随经、纬纤维量的接近而接近；,1,:1,平衡型织物复合材料，,方向的拉压模量最低,l,剪切弹性模量,的方向性,和,方向的剪切模量最小，由基体剪切模量控制；,时剪切模量最大，由纤维拉压模量控制,、,l,纵向泊松比,的方向性,间有一最大值，,取值最小。,1,:1,织物复合材料，,取值最大。,l,拉剪耦合系数,的方向性,和,方向为零?，在中间角度有较大值。,l,独立的偏轴工程弹性常数只有,4,个。存在,2,个关系式：,l,利用极值分析法,确,定
10、工程弹性常数的极大值、极小值,（4）耦合效应和耦合系数,耦合效应,受正应力作用时，不仅会产生正应变，还会产生剪应变,;,在剪应力作用下，不,仅,会产生剪应变，还会产生正应变。,的,物理意义，,表示只在,x,方向作用正应力,x,产生单位线应变,（,=1,）,时的剪应变大小。,复合材料在单轴应力时的变形形状,复合材料在纯剪应力时的变形形状,（5） 偏轴工程弹性常数的演算过程,正轴工程弹性常数,正轴模量,偏轴模量,正轴柔量,偏轴柔量,偏轴工程弹性常数,ij,S,的试验确定,单向增强单层板在和1-方向成450角的单向拉伸试验,测量x,G12,根据,2.3 单层板的强度,2.3.1 单层板的基本强度,c
11、,1,例：考虑单向纤维单层板，假设强度为：,其应力场为：,最大主应力低于最大强度，但2比Y大，在2方向上破坏。,正交各向异性材料强度随方向不同变化；拉伸和压缩失效的机理不同；面内剪切强度也是独立的。,强度和刚度的试验确定,基本强度特性Xt纵向拉伸强度；Xc纵向压缩强度Yt横向拉伸强度；Yc横向压缩强度S面内剪切强度刚度特性为：E11-方向上的弹性模量；E22-方向上的弹性模量1 -2/1，当1= ，而其他应力皆为零；2 -1/2，当2= ，而其他应力皆为零；G12在1-2平面内的剪切模量,强度和刚度的试验确定,试验的基本原则 当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力-应变关系也应该是线性
12、的。一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复合材料来说，是非线性的。试验中的关键，是使试件承受均匀的应力，这对各向同性材料是容易的。对正交各向异性材料，当载荷作用在非材料主方向时，正交各向异性性能常常导致耦合效应。,2.3.2 最大应力准则和最大应变准则,（1） 最大应力准则,式中，工作应力为代数值，基本强度为绝对值。上述表达式左边的量都小于右边的量，则表示单层未失效；只要满足式（2-58）中任何一个，则认为材料已经失效。未考虑各应力分量对材料强度的相互影响。当作用应力在偏轴向，必须转换到正轴向。,t,（2）最大应变准则,最大应变准则考虑了另外一个弹性主方向应力的影
13、响。,拉伸时,压缩时,2.3.3蔡希尔（Tsai-Hill)强度准则,单层板强度的方向性及各种强度准则的比较,偏轴单向拉伸(压缩)强度曲线,霍夫曼（Hoffman）准则,2.3.4 蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则,正交各向异性单层板的强度,与材料主方向上成45度角的的剪应力,在单层板的正轴方向上, 材料的剪切强度与剪应力正负无关。,如何确定联系 着两个正应力的强度参数F12,y,1,-3,2.3.5 单层板强度的计算方法（1） 强度比的定义,失效曲线,（2）单层的强度比方程,a.蔡希尔准则的强度比方程,b. 蔡-吴张量多项式准则的强度比方程,y,P,31.7,（,1,）圆管的应力状态,由于无内、外压力或径向力，故,为零。,(2),单向复合材料纵向位置的确定,相位角可由下式计算：,=,。,取,，所以,荷,感谢聆听！,
