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1、,数系的扩充与复数的引入 复 习 课,虚数的引入,复 数,复数的表示,复数的运算,代数表示,几何表示,代数运算,几何意义,知识体系,一、本章知识结构,二、标准与大纲的比较,（1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。（2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形 式的加减运算的几何意义。（3）人教A版教材弱化了： i的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题B组 第2题中） 共轭复数的概念（在3.2.2例3（1）中给出） 关于复数的模的几何意义（隐含于3.1.2练习4中） 实系数一元二次方程求解（见习题3.2 A组第6题）, 删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是在其出
2、现的地方作适当延伸，不必重点讲解。,三、学习目标1、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及属于现实世界的联系.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3、了解复数的代数表示法及其几何意义.4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的集合意义.,四、重点和难点重点:复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义.难点:复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运算法则.,复习过程,数系的扩充,复数的四则运算,复数的几何意义,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做
3、虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .,1.复数的概念：,2.复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,非纯虚数,纯虚数,虚数,实数,3.复数的分类：,N Z Q R C,4.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,注：,2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了.,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系
4、中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,一：复数的几何意义（一）,结论：实轴上的点都表示实数；虚轴上点除原点外都表示纯虚数。,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,二：复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量规定：相等的向量表示同一个复数,x,O,z=a+bi,y,Z (a,b),对应平面向量 的模| |，即复数 z=a+bi在复平
5、面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,| z | = | |,三：复数模的几何意义：,复数的模其实是实数绝对值概念的推广,？,设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的和：,（a+bi)+(c+di)=,（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致,（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 。 对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。,1、复数的加法法则：,(a+c)+(b+d)i,复数,即实部与实部 虚部与虚部分别相加,(3)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。,y,设 及 分别与复数 及复数 对应，则 ,
6、探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？,复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义,思考？,复数是否有减法？如何理解复数的减法？,复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） （c+di）,请同学们推导复数的减法法则。,深入探究,事实上，由复数相等的定义，有：,c+x=a， d+y=b,由此，得 x=a c， y=b d,所以 x+yi=(a c)+(b d)i,即：（a+bi） （c+di）= (
7、a c)+(b d)i,点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。,2、复数的减法,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),符合向量减法的三角形法则.,复数减法运算的几何意义?,|z1-z2|表示什么?,表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离,类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？,复数减法的几何意义：,结论：复数的差Z2Z 1 与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.,1.复数的乘法法则：,说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；,(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把 换成1，然后实、虚部分别合并.,2、定义:
8、实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.,思考：设z=a+bi (a,bR ),那么,复数 z=a+bi 的共轭复数记作,另外不难证明:,3.复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即,分母实数化,复数代数形式的除法实质：分母实数化,如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到nZ.）,设 ,则有:,事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于上面的三个等式.,4、一些常用的计算结果,问题1 设复数z=lg(m22m2)+(m2+3m+2)i，试
9、求实数m取何值时。（1）z是纯虚数；（2）z是实数；,1复数的有关概念,复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部。 当b=0时，a+bi就是实数， 当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。,背景知识,问题2 设x，yR，并且 (2x1)+xi=y(3y)i，求x，y。,解题总结：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想转化思想,变式练习,1.若方程 +(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数m的值.,2.已知不等式 -( -3m)i10+( -4m+3)i,试求实数m的值.,误点警示：虚数不能比
10、较大小！,2.复数的代数运算,问题3 复数 等于（ ）A. B.C. D.,方法点拨在掌握复数运算法则的基础上注意以下几点,1. 的周期性,2.,3.,高考链接,1(06年陕西卷)复数 等于 A.1i B.1+i C.1+ i D.1i,2. (05年重庆卷) A B C D,问题4 设z为虚数，且满足 求|z|。,解法1 设 z=a+bi (a,bR且b0)，,解法2,解题总结,解法1入手容易、思路清楚，是我们处理这类问题的常规方法，必须熟练掌握。,解法2着眼于整体处理，巧用共轭复数的性质，对解题方法技巧有较高的要求。,方法与技巧共轭复数的性质,时，z是纯虚数,问题5 已知复数z=(m2+m
11、-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。,3、复数的几何意义,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,复平面,一一对应,复数的一个几何意义,背景知识,复数z=a+bi点Z(a,b） 向量,复数的另一几何表示,问题6 如图，已知复平面内一个平行四边形的三个顶点O,A,B对应的复数分别是0, 5+2i , -3+i ，求第四个顶点C对应的复数.,解法1向量法,解法2几何法,平行四边形对角线互相平分,知识拓展,不等,相等,如果复数z满足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是（
12、 ） A.1 B. C.2 D.,问题7,思想方法数形结合,方法与技巧,掌握一些常见曲线的复数方程，充分运用复数的几何意义解题，就可以快速准确的解答有关问题。,回顾总结,1.两个复数相等的充要条件是实现把复数问题转化为实数问题的重要途径，也是我们解决有关的方程、不等式问题的重要依据。,2.在熟练进行复数运算的同时，掌握一些运算技巧方法，以求快速准确地解答问题。,3.复数的几何表示建立了复数与平面图形、复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以方便地进行数形转换，寻找更为直观、方便的解题方法与途径。,作业,1.已知z是复数，z+2i、 均为实数，且复数(z+ai)z在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.,2已知复数z满足 ， 的虚部为 2 ，（1）求z；（2）设 ， ， 在复平面对应的点分别为A，B，C，求 的面积.,
