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1、第3章 数系的扩充_复数,3.2 复数的运算,1.对虚数单位i 的规定, i 2= -1;,i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运 算律不变.,练习. 根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化 为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= ； (3-i)i= ；i = ； -5= ；0= ；2-i= .,6+3i,1+3i,0+i,-5+0i,0+0i,2+(-1)i,2. 我们把形如a+b i(其中 )的数,a、b R,称为 复数,记作：,z=a+bi,， 其中a叫做复数 的 、b叫做复数 的 . 全体复数集记为 .,z,实部,z,虚部,C,3. 由于i2= = -1，知
2、i为-1的一个 、-1的另一个 ;,一般地，a(a0)的平方根为 、,(-i)2,平方根,平方根为-i,- a (a0)的平方根为,4. 复数z=a+bi,(a、bR),(b=0),虚数,(b0),特别的当 a=0 时,纯虚数,5. 两个复数相等,设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 ,即实部等于实部,虚部等于虚部.,特别地，a+bi=0 .,a=b=0,注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.,显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.,注意:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.,6.什么是复数z的两个几何意义？ 复数的模长如何计算？
3、,1.复数加减法的运算法则：,(1) 运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么 z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).结果还是一个复数。,(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,例1.计算,解:,2.复数的乘法与除法,(1)复数乘法的法则,复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=
4、ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.,(2)复数乘法的运算定理,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.,(3)复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即,(5)共轭复数的乘除性质:,(4)复数的一个重要性质,两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.,复数的四则运算,复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去。,例2.计算,解:,例3.计算,解:,如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到nZ.）,设 ,则有:,事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于上面的三个等式.,(6)一些常用的计算结果,
