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1、2012-3-8,Wavelets analysis,1,多分辨分析,多分辨分析 两尺度关系多分辨分析描述方式 小波空间,自动化系-吴,2,能量有限空间的小波分解,由小波级数知，函数 能表示为把上述表示改写可得,3,能量有限空间小波分解(续),由于 是 的Riesz基，对固定k,令 即， 是 线性张成的闭包。那么， 就可分解为空间 的直接和 这时， 都有唯一分解 其中,4,多分辨空间的形成,现在，对每个 ，考虑 的闭子空间这些闭子空间 具有下述明显性质:是嵌套序列,5,多分辨空间的形成(续),进而，如果存在 中的函数 ，使族 是 的一个Riesz基，即 并且 满足Riesz条件: 存在 使对于
2、所有双无限平方可和序列 ，有 对于 ,如上式成立，则称它是 稳定的。 附注 满足Riesz条件，则它们一定是线性无关的。所以它是 的一个基。,6,多分辨分析定义,如何由 出发，使由 张成 的闭子空间 的序列 满足上述几条，且 是 的一个Riesz基。这时 称为尺度函数。定义 的闭子空间的嵌套序列称为形成一个多分辨分析，满足 1) 且 2) 则 ，且 3) 存在 使 形成 一个Riesz基。,2012-3-8,Wavelets analysis,7,多分辨分析定义(续),定义中的条件 可以省掉，因为它可以从其它条件推出，为了方便我们仍保留这个条件。由于 是 的一个Riesz基，由条件(2)， 也
3、是 的一个Riesz基。所以，也称 生成一个多分辨分析Vk。定义中的几个条件分别称为嵌套性，可逼近性，层次性和基底性。,8,两尺度关系,设 生成一个多分辨分析 ，由于 而 ，所以 ， 可用 的基底 表示。由于 是 的一个Riesz基，所以存在唯一 序列 , 使 上式就称为 的两尺度关系, 称为两尺度序列.对于模为1的复数z，引入记号 对两尺度关系两边作Fourier变换，则得两尺度关系的Fourier变换形式,9,多分辨分析三种描述方式,由前边的多分辨分析可以看出，多分辨分析至少有三种描述方式: 的闭子空间序列 ;尺度函数 ;两尺度序列 ;例1 这是Haar多分辨分析的例子。尺度函 数 是区间
4、上的特征函数。记 ,空间 是 的规范正交基。嵌套序列是,10,多分辨分析三种描述方式(续),这个例子是由 的子空间 定义的多分辨分析。 是在区间 上为常数的所有函数形成的空间。这时 常数 这时有 因为在长为 的区间 上为常数的函数，在长为 的区间 上一定是常数。这时尺度函数还是Haar函数,13,前边我们引入了序列 的符号 ,为了突出它与的联系,再写 这时 是以2为周期的函数，且这时两尺度关系的Fourier变换形式是引理1 规范正交尺度函数 的Fourier变换 满足下述条件: 几乎处处成立;(2) (3) 几乎处处成立。,分n为奇偶两部分,尺度函数的性质,14,证明 (1)是前边定理的结论
5、，式(2)是 的两尺度关系的Fourier变换形式(与 正交性无关)。下面证明(3)成立。 把式(2)代入式(1)得到 由于上式对于任何都是真的，用代替 得到 在右边求和中，把奇数项和偶数项分开，并利用 是2周期函数，得,第7讲第4页的定理,15,证明(续) 几乎处处成立附注 尺度函数 的Fourier变换 满足方程 (2)，这时 也常称为多分辨分析的生成函数。这个函数还称为序列 的离散Fourier变换，在信号处理中， 称为离散滤波器的传递函数。,16,函数形成多分辨分析的条件,定理 假定 使平移 是规范正交的: 是 收敛的,而 的Fourier变换在=0是连续的,且定义 ,则 形成 一个多
6、分辨分析。证明 由(2)推出 ,令 是空间 到 上的正交映射这个映射算子满足界 。 为证明多分辨性质，对所有 ，只要证明 和即可。这可由下面两个引理及推论来完成。,17,引理A 在上述定理条件下，对任何 ，都有 。证明 因为 ,我们只要在一个稠密集上证明这一结果,例如,假定 函数具有紧支撑，如果f 具有在 中的支撑，那么,18,证明(续) 如果 ,那么这些积分是在邻接区 间并上的积分,这个区间并为 而 ，它的Lebesque测度为零。所以， 用控制收敛定理，有为证明另一式,先把 表示为Fourier变换形式.引理B 令 ，而它的Fourier变换是有界的, 且对于某个 ，支撑在 中。那么，对于
7、 ，我们有,证明 使用Parseval恒等式，有 其中,使用了 的Fourier变换为 这一事实。现在,如果 最后的积分等于在区间 上的积分,此区间上 =1。进而 用对Fourier级数的Parseval恒等式,对 有,20,推论C 假定 满足添加的条件: 在=0是 连续的,且 。那么,对任何 ,当 时,证明 因为 是收敛的，只要证明，在函数的Fourier变换具有紧支撑且有界的函数f 的稠密 集上证明即可。进而，由正交映射性质，有 所以,证明 即可,使用假设,当 时 在紧集上一致收敛到1,所以,对 给出,小波空间,对于 生成的多分辨分析 ，由于 现在考虑 关于 的补空间 ，即至少要求 满足
8、满足上面两个性质的 称为 的直接和 为了构造，像 生成 一样，生成 的小波 ，由于 ，所以考虑 序列 及由它定义的 中的函数,22,Wiener定理,我们知道，给出了序列 就完全确定了尺度函数与小波函数 。对于 ,它们一般是Laurent级数，这时重要的是对应的序列 。如果一个Laurent级数的系数是 序列，则称这个Laurent级数属于Wiener类W。容易看到,两个 序列的和与两个 序列的离散卷积还是 序列,所以类W是一个代数。定理 令 W,并且对于单位圆 上的所有z，假定 ，则 W 。,分解关系,由前，我们还要求函数 ，并且像 生成 一样的方式生成闭子空间 ，即 同时注意，还要求空间序列 继承性质(4)，以便使由 生成空间 。为了满足直和关系， 是 的一个Riesz基即可。对于符号 组成的矩阵 下章定理给出:给 ,则 是 的一个Riesz基,iff 对于所有 , 可逆.,分解关系(续),如果 对于所有 可逆，则 所以 W 由Wiener定理，得 W 在 上，作函数 得到 的逆( 都属于Wiener类)由下章另一定理,生成 中的符号 的序 列 。进而,对所有 ,有分解关系,2012-3-8,Wavelets analysis,25,本节完！,
