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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,4.4.1 Taylor级数4.4.2 函数展开成幂级数4.4.3 函数展开成幂级数的应用,4.4 函数展开成幂级数,第4章 无穷级数,中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.4.1,4.4 函数展开成幂级数,4.4.1 Taylor级数,函数展开成幂级数,直接法,4.4.2 函数展开成幂级数,思考题,间接法,Taylor(泰勒)级数的存在性,Taylor(泰勒)级数的形式,习例1-3,习例4-10,4.4 函数展开成幂级数4.4.1 Taylor级数 函数展,是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？,问题:,1.如果能
2、展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,一、Taylor级数,是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？问题:1.如果,1. Taylor(泰勒)级数的形式,证,1. Taylor(泰勒)级数的形式 证,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数,定义,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.,可见,在x=0点任意阶可导,可见在x=0点任意阶可导,2. Taylor(泰勒)级数的存在性,证,必要性,2. Taylor(泰勒)级数的存在性
3、证必要性,充分性,注意:,定理1告诉我们：若f(x)能展成x的幂级数，则此幂级数就是Maclaurin级数；但反过来，若f(x)的Maclaurin级数在x=0的某邻域内收敛，却不一定收敛于f(x).其敛散性应进一步考虑.,充分性注意: 定理1告诉我们：若f(x)能展成x的幂级数，则,二、函数展开成幂级数,步骤：,1. 直接法,二、函数展开成幂级数步骤：1. 直接法,例 1,例 2,例 3,用直接法展开函数成幂级数习例,例 1 例 2 例 3 用直接法展开函数成幂级数习例,例 1,解,例 1 解,例 2,解,例 2 解,例 3,解,例 3 解,开放式精品示范课堂高等数学建设组,牛顿二项展开式.
4、,牛顿二项展开式.,注意:,注意:,2. 间接法,(1)利用已知幂级数展式.,(2)利用求导求积恒等变形等运算转化为已知幂级数 展式来展开.,(3)端点情况的收敛性重新考虑.,2. 间接法(1)利用已知(2)利用求导求积恒等变形等运算转,例 4,用间接法展开函数成幂级数习例,例 5.,例 6,例 4 用间接法展开函数成幂级数习例例 5.例 6,例 7,例 8,例 9,例 10,例 7 例 8 例 9 例 10,例 4,解,例 4 解,开放式精品示范课堂高等数学建设组,开放式精品示范课堂高等数学建设组,例 5,解,例 5 解,例 6,解,例 6 解,例 7,解,例 7 解,开放式精品示范课堂高等数学建设组,开放式精品示范课堂高等数学建设组,例 8,解,例 8 解,例 9,解,例 9 解,例 10,解,例 10 解,开放式精品示范课堂高等数学建设组,思 考 题,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,2. 如何求,的幂级数 ?,提示:,思 考 题1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,
