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1、微积分,教 室： C教2019星期二. 第1、2节 星期四. 第3、4节 星期五. 第3、4节,课程简介教师姓名参考书交作业时间最后成绩答疑时间,教材：微积分（四川大学）,本课程主要内容有极限论，微分学，积分学和级数论等，它包括：1.数学分析：一元函数微积分学 多元函数微积分学 级数；2. 向量代数，空间解析几何；3. 常微分方程，差分方程,第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不 定积分，定积分及其应用，常微分方程；差分方程第二册：向量代数和空间解析几何，多元函 数微分学，重积分，线面积分和级数。返回,引 言,一、什么叫微积分?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,微积分, 研
2、究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程和差分方程,主要内容,多元微积分,二、如何学习微积分 ?,1. 认识微积分的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩
3、格斯,要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都
4、作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,教师姓名： 方小萍 Tel. 84659240(o),参考书：吉米多维奇数学分析习题集 分析中的反例,返回,Email address:xpfang08gmail,交作业时间与地点： 每周二上午 教室,作业要求全交。,最后成绩： 平时30%+期末70%答疑时间： 待定,preview +
5、 review + exercise,要求：不迟到不早退，不中途退场。,几个常用符号,存在(exist)；,任意(arbitary)；,属于。,第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,二 、函数,一、集合,第一节,函数,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,表示法：,(1) 列举法：,
6、按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理数集, 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,无限区间,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平
7、面上的全体点集,或,二实数与实数的绝对值,2) 数轴: 规定了原点,方向,取了单位长的,有向线段.,3)绝对值,0,4)绝对值的基本性质:,3),4),初等数学：研究对象为常量，是常量的数学；高等数学：研究对象是事物的运动规律和现象的 变化规律，是变量的数学。,三 函数(function),16世纪，机械学，航海学，物理学，力学提出许多新的问题：,运动物体的速度和它的运动规律的关系；,天体沿怎样的轨道运行；,不规则图形的面积如何计算等等。,Gallillo在“两门新学科”中，用文字和比例的语言表达函数；,Newton于1665年开始微积分工作后，用“fluent”表示变量间关系；,Leibni
8、ze1673年后首次使用function表示变量间的关系；,Euler于1734年引进函数符号f(x)。,实例,2. 某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。,定义1. 假定在某个变化过程中有x和y两个变量，x的变化域为X 。假如对X中的每一个x值，根据某种对应规则f ，变量y有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数(function)， 记作：y=f(x),例4. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11 ),(2) 单调性,为
9、有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄
10、里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,设函数,习惯上,的反函数记成,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,是定义在D,上的一个函数,其值域,如果对每一个,都有唯一的对应值,满足,则x是定义在,上以 y,为自变量的函数,记此函数为,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成
11、复合函数 .,可定义复合,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,1. 幂函数,，它的定义域随不同的a而异，但无论a 为何值，在(0,) 内幂函数总是有定义的。其图形过点(1，1)，a0和a0时的图形分别如图1.2和图1.3。,4.基本初等函数,2.指数函数,，它的定义域 ， 值域 ，其图形均过（0，1）点。当a 1时，ax 为单调递增函数，当0 a 1时， ax 为单调递减函数，如图1.4所示。,现在介绍一个特殊的无理数 。在科学技术中时常会用到以e为底的指数函数 。,3. 对数函数,，对数函数是指数函数的反函数。其定义域 其图形均过(1,0)点，当a 1时， 为单调递增函数
12、。当0a 1时， 为单调递减函数。如图1.5。,函数 的反函数 为简记为 称为自然对数。,4. 三角函数,正弦函数 的定义域 ，它是以2为周期的周期函数，且 ，其图形在直线 之间。,是奇函数，且在 上单调递增，如图1.6。,余弦函数 的定义域为 ，且也以为2周期，因为 ，所以，其图形也在直线 之间。 是偶函数，且在0，上单调递减。如图1.6。,正切函数 的定义域 它是以为周期的周期函数。因为 ，故为奇函数。如图1.7。,余切函数 的定义域 也为周期函数，周期为，且为奇函数。如图1.8。,5. 反三角函数(主值),y=arccosx是余弦函数y=cosx在0,上的反函数,叫做反余弦函数,其定义域
13、是-1,1,值域是0,，并在定义域上单调递减,如图1.10。,y=arcsinx是正弦函数y=sinx在 上的反函数，叫做反正弦函数。其定义域是-1,1，值域是 ，并在定义域上单调递增，如图1.9。,y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,)内的反函数,叫做反余切函数,其定义域为(-,+),值域是(0,),并在定义域上单调递减的。,y=arctanx是正切函数y=tanx在区间( )内的反函数,叫做反正切函数,其定义域为(,+),值域是( ),并在定义域上单调递增。,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,基本初等函数,y =,4. 初等函数,(1)
14、基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,*例5. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,内容小结,1. 集合概念,定义域对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性,奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,2
15、. 函数的定义及函数的二要素,且,备用题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,5经济学中的常用函数,1)需求函数,若把该商品的价格 p 看作自变量,需求量D看作因变量,则有需求函数,记做,需求函数的图形称为需求曲线,需求一般是价格的递减,函数.,注: 例外:古画,文物的需求,最常用的需求函数:,线性函数,D = f(p),其中a,b为正的常数,a 为价格为零时的最大需求量,为最大销售价格(这时需求量为零).,2)
16、 供给函数,在其他因素不变的条件下,供应商品的价格 p 看作自,变量而把相应的供给量Q作为因变量,则有供给函数,供给函数的图形称为供给曲线,它与需求相反一般是增的.,最简单的供给函数为:,Q = -c + dp,其中c,d为正的常数.,使一种商品的需求量与供给量相等的价格,称为均衡价格.,例:已知鸡蛋收购价每公斤3元,每月收购5000公斤.,若收购价每公斤提高0.1元,则收购量可增加500公斤.求鸡蛋,的线性供给函数.,解: 设鸡蛋供给学院的函数为,Q = - c + dp,其中Q为收购量,P为收购价格.由题意有,解得d =5000, c=10000,从而所求供给函数为,Q = -10000
17、+ 5000p,例: 已知某商品的需求函数和供给函数分别为,Q = 14 1.5p Q = -5 + 4p,求该商品的均衡价格,解: 由供需均衡条件, 有,141.5p=-5 + 4p,故:,1)一般, 总成本由固定成本和可变成本组成.,2)若产品的价格为p,相应的销售量为D,则销售产品的总,最简单的成本函数为线性函数:,c(x) = a + bx,其中x为产量,a,b 为正的常数,a 为固定成本.,它是单增的.,3* 总成本函数,总收入函数.总利润函数,收入函数为:,R(x)=pD,解: 设 此时的价格为p ,则应有,3) 总利润等于总收入减去总成本,故总利润函数: L(x) = R(x)
18、c (x),例:设某厂每天生产x件产品的总成本为c(x) =2.5x+300,(单位为元).假若每天至少能卖出150件产品,为了不亏本,单位售价至少应为多少元?,150p = 2.5150 + 300 = 675,解得:p = 4.5(元). 故为了不亏本,价格至少应定为4.5元.,为了不亏本,单位售价至少应为4.5元.,优惠价出售.试将一次成交的销售收入R表示,例:,设某商店以每件a元的价格出售某种商品,但若顾客,一次购买50件以上,则超出50件的部分以每件0.9a元的,成销售量 x的函数.,解:,一次售出50件以内的收入为,R = ax,而一次售出50件以上时, 收入为,R=50a+0.9a(x - 50) (x 50),故 一次成交的销售收入R是销售量x 的分段函数,
