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1、抽象函数全攻略,主讲教师：詹龙忠,一、对称性,先看定义域，再研究f(-x)与f(x)关系：,f(-x)=f(x) 偶函数 关于 y轴对称f(-x)=-f(x) 奇函数 关于原点对称,1.对任意x、y恒有 ，证明f（x）是奇函数。,显然，定义域关于原点对称。令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x） (*)再令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0 代入（*），则f（x）+f（-x）=0，即 f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数。 原型是正比例函数,2.已知函数的定义域为x0，在定义域内的任意x、y，都有 ， 证明f（x）是偶函数。,显然，定义域关于原点对称。令
2、y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1） （1）令x=y=-1，则 f（1）=f（-1）+f（-1）（2）令x=y=1， 则 f（1）=f（1）+f（1） （3） f（1）=0，f（-1）=0再代入（1）得 f(-x)=f(x) f(x)是偶函数 原型是对数函数,本题有个简便方法：f(xy)=f(-x)*(-y)= f(-x)+f(-y) f(x)+f(y)=f(-x)+f(-y)令y=x ，2f(x)= 2f(-x)，f(x)是偶函数。,F(x+1)是偶函数，F(x)会怎样？F(x-3)是奇函数，F(x)又怎样？根据定义推导：令 g(x)=F(x+1),则g(-x)=g(x)即F(-x+
3、1)=F(x+1)，写成F(1-x)=F(1+x)表示 F(x)关于x=1对称。,同理，F(-x-3)=-F(x-3)也就是F(-x-3)+F(x-3)=0F(x)关于（-3，0）中心对称。,常见问题讨论,总结一下：F(x+k)是偶函数，对称轴x=kF(x+k)是奇函数，对称中心（k，0）,对称函数的等价变换F(x+1)=F(-x+1) x x-1F(x)=F(2-x) 等价F(x-3)+F(-x-3)=0 x x+3F(x)+F(-6-x)=0 等价,对称变换原则：括号和不变，结果不变。,拓展一下：1、F(x-3)= F(-x-5)，那么F(x)的对称轴是什么？2、F(x-3)+F(-x-5
4、)=0，那么F(x)的对称中心是什么？,对称变换：和之半为x。,对称函数的补充实例1.y=f(x+1)是偶函数，则f(2x) 的对称轴是_。2.y=f(2x+1)是奇函数，则f(x)的对称中心是_。3.已知f(x+3)=f(5-x)，则对称轴是什么？ 4.函数f(x+3)、f(5-x)的对称轴是什么？ 5.已知函数y=f（2x-1）是R上的奇函数，函数y=g（x）是函数y=f（x）的反函数，则g（a）+g（-a）的值为_。,伸伸小手：已知f(2x+3)=f(5-2x)，则f(2x)、f(x)对称轴分别是什么？,2016年全国卷II（12） 已知函数f(x)(xR)满足 ，若函数y= 与y=f(
5、x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2),(xn,yn),则,因为f(-x)+f(x)=2，所以f(x)关于（0，1）对称。又y= 也关于(0,1)对称。根据中点公式，两个对称的点的横坐标之和/2=0，纵坐标之和/2=1。两坐标之和=0+2=2。若有交点，必然对称出现。两个交点时，坐标之和=2，那么n个交点时，坐标之和=n。,f(-x)=2-f(x),二、周期性f(x)=f(x+t) (t0，常数）,1.已知f(x)=f(x-1)-f(x-2)，求f(x)的周期解题策略：我变非我，非我变我。 周期变换原则：同加同减，结果不变。f(x-1)=f(x-2)-f(x-3) (1)与原式相加得
6、f(x)= -f(x-3) (2)f(x-3)= -f(x-6) (3) f(x)=-f(x-6)=f(x-6) (4),两个结论：F(x+a)= F(x+b) （ab）周期为 |a-b|F(x+a)=-F(x+b) （ab）周期为2|a-b|, f(x+6)=f(x) ，即 周期为6。,xx-1,xx-3,两个方向：简单化 或者 复杂化,2.若 ， f(x)的周期=？,3a,3.（2009年全国卷1）函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）。 A. f(x)是偶函数 B. F(x)是奇函数 C. f(x)=f(x+2) D. F(x+3)是奇函数, f(x+1)=-f(-x+1)，
7、f(x-1)=-f(-x-1) f(x)=-f(-x+2)，f(x)=-f(-x-2) (*) f(-x+2)= f(-x-2) f(x+4)=f(x) 周期为4。f（x+3）=f（x-1），f(x+3)是奇函数。,1.f(x)是奇函数,f(x-2)是偶函数,则周期是 ( )。2.（2009年四川理12）已知f(x)是不恒为零的偶函数，且xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 的值是（ ）。,0,8,伸伸小手：,三、单调性,1.对任意x、yR，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x)0，判断f（x）的单调性。,设x1x2，则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+x2 -
8、f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2) x1-x20，f(x1-x2)0。 f(x1)-f(x2)0 ，即 f(x1)f(x2) f(x)是减函数。,2.已知函数的定义域为x0，在定义域内的任意x、y，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x1时 f(x)0，f(2)=1 (1) 判断f(x)在(0，+)上的单调性； (2) 解不等式,(1) 设x1x20，f(x1)-f(x2)=f( )-f(x2)=f( )+f(x2 )-f(x2)=f( )因此，f(x)在（0，+）上是增函数。,(2) 易知f(x)是偶函数，等价于f(|2x2-1|)f(2)+f(2)，
9、即f(|2x2-1|)f(4)。又x0， |2x2-1|4， |2x2-1|0。,四、导数应用,1.（2015全国理12）设奇函数f(x)满足 f（-1）=0，当x0时， ，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）。,一、构建函数根据已知条件构建函数，显然可设,二、研究性质 ，即g（x）在x0时为减函数。f(x)、x都是奇函数，所以g(x)(x0)是偶函数。又g(-1)=f(-1)/(-1)=-f(-1)/(-1)=0。作出g(x)示意图。当x0且f(x)0时，g(x)0当x0时，g(x)0,答案：A,2.定义在R上的连续函数f（x）满足f(x)+f(x)=x2，且当x0时，f(x)x，则不等式 的解集（ ）。,一、构建函数f (x)-x0g(x)=f (x)-x,二、研究性质考察单调性和奇偶性。, g(x)在x0时为减函数。又g（-x）+g（x）= f(-x)+ f(x)x2 =0 g(x)是奇函数，g(x)在整个定义域内为减函数。,即 g(x)g(1-x)。 x1-x，,再 见,
