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1、第六章 拉普拉斯变换,本章基本要求,理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换掌握有理分式反演法掌握延迟定理，位移定理和卷积定理理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。,6.1 拉普拉斯变换的概念,一 Laplace 变换的定义,1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件 2）在（-，+）上满足 绝对可积的条件 3）在整个数轴上有定义,实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t0无意义。,2 拉普拉斯变换研究的对象函数,1）函数满足这样的条件: a) t0时，f(t)=0 b) t=0时，f
2、(t)右侧连续，,2）设单位阶跃函数， 则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。,3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换,从上面推导可知，函数f(t)(t0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-t的傅里叶变换。,4 Laplace变换的定义,设f(t)为定义在0，）上的实变函数或复值函数，若含 复变量的积分,在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数,称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=Lf(t)，,而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-F(s)，上式也称作黎曼-梅林反演公式。,二 Laplace变换的存在条件,Laplace 变换
3、存在的充分条件是：（1）在 0 t 0 和 0，使对于任何t (0 t ), 有,的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这个充分条件。,0+i,0-i,s 平面,o,收敛横标,2 定理：若f(t)满足上述条件，则像函数F(s)在半平面Res上有意义，而且是一个解析函数。,三 例题,例1 指数函数 eat (a为复常数),例2 Heaviside阶跃 函数:,例3 线性函数f (t) = t (t 0):,例4,同理,解：,从而,类推,6.2 基本函数的拉普拉斯变换,一 单位阶跃函数,二 (t)函数,三 函数tn（n-1)的拉氏变换,6.3 Laplace 变换的基本性质,Laplac
4、e 变换F(s) 的特性：（1） F(s) 在 Re(s)0 的半平面代表一个解析函数。（2）当 |Arg s| /2 - ( 0) 时：,且满足,0+i,0-i,s 平面,o,解析区域,一 线性定理：与 Fourier 变换一样。,例,注意：一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。,二 原函数导数定理:,原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除,三 原函数积分定理:,四 相似性定理五 位移定理：六 延迟定理：,七 卷积定理:,八 像函数微分性质,即： 像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数。,九 像函数积
5、分定理,十 关于参数的运算,对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的运算顺序可以交换，所以,十一 初值定理,十二 终值定理,例1（P205例10.3.4）,例2（P206例10.3.5）,例3（补充例题）求解初始问题,例4（补充例题）求解初始问题,例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）,6.3 Laplace变换的反演,关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程关于 p的代数方程 原微分方程的解,Laplace 变换,Laplace 变换的反演,一 有理分式的反演,把有理分式分解,然后利用一些基
6、本公式和 Laplace 变换的性质求原函数。,一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分式展开 4）利用拉氏变换表求解,注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。,例1 求 的原函数（p208例10.4.1）,例2 求 的原函数（p208例10.4.2）,例3 求 的原函数,解,因此原函数为,通分后比较p的同次幂系数得：,二 查表法反演,例4：求 的原函数。,由表查得,解,又由延迟定理,例5 求 的原函数。解：由表查得由位移定理：因此原函数为,例6 求 的原函数（p210例10.4.5）,*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在 L 右边，像函数解
7、析，无奇点。故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。设 在 L 的左边只有有限个孤立奇点 pk，由留数定理因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂),Fourier变换与Laplace变换的比较,1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;,2 尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式; 无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。,6.4 拉普拉斯变换应用举例,一 利用拉氏变换求积分,（1）如求 的积分，先求 的积分，然后令t=1。,例1（p215例10.5.2）,（2）若 ，则,例2（p216例10.5.3）,（3）若 ，则利用基本公式11和初值定理，得到,例2（p216例10.5.4）,二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程,例1 （p217例10.5.6）解方程,例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sint, 求电路中的电流。,解：电流方程：,两边作 Laplace 变换：,解得：,应用卷积定理,第一项：稳定振荡，第二项：衰减,见下页,其中,第一项改写：,例3 （简明教程p61）求解积分方程,解 方程两边进行拉普拉斯变换,则,例4 （简明教程p60）求解方程组,解 方程两边进行拉普拉斯变换,
