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1、生活中的优化问题举例 -优化问题与导数的综合应用,例1在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,分析根据所给几何体的体积公式建模解析设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)(602x)2x(00，当10 x30时，V(x)0.,当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大点评在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还
2、是最小值不必再与端点的函数值进行比较,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,例2某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.,）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,令,当,当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；当半径r时，f (r)0 它表示 f(r)
3、单调递减， 即半径越大，利润越低,1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,例3某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,R,h,解 ：设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为,又 (定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,练1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 , 上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸
4、，才能使四周空心面积最小？,解：设版心的高为 dm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 :,求导数，得,于是宽为,因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,解法二：由解法(一)得,分析根据题意，月收入月产量单价px月利润月收入成本px(50000200 x) (x0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值,答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元点评建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方,回顾总结:利用导数解决优化问题的基本思路：,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。,
