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1、第二章 平面向量复习课,一.基本概念,1.向量及向量的模、向量的表示方法,1)图形表示,2)字母表示,3)坐标表示,A,B,有向线段AB,一.基本概念,2.零向量及其特殊性,3.单位向量,一.基本概念,4.平行向量,5.相等向量,6.相反向量,方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.,在保持长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动.平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上,(共线向量),区分向量平行、共线与几何平行、共线,长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.,1.向量加法的三角形法则,2.向量加法的平行四边形法则,3.向量减法的三角形法则,首尾
2、相连首尾连,首同尾连向被减,共起点,二.基本运算（向量途径）,4.实数与向量的积,是一个向量,二.基本运算（向量途径）,5.两个非零向量 的数量积,向量数量积的几何意义,可正可负可为零,二.基本运算（向量途径）,向量夹角：首要的是通过向量平移,使两个向量共起点。,ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向ab=|a|b|反向时ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= )cos=|ab|a|b|,平面向量的数量积ab的性质:,二.基本运算（坐标途径）,三.两个等价条件,四.一个基本定理,平面向量基本定理,利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组,向量的有关概念,五.应用举例,例2
3、 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA,利用加法减法运算法则，借助结论,AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0,进行变形.,解：,原式=,AB +（BO + OM + MB）,= AB + 0,= AB,（1）,（2）,原式=,AB + BD + DA （BC + CA）,= 0BA = AB,五.应用举例,向量加减法则,五.应用举例,例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,平面向量基本定理,例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知，
4、， ， 求：（1） ；（2） ；,解：,所以,所以,（1）,（2）,五.应用举例,平面向量的数量积,20,五.应用举例,向量共线定理,例7. 已知a =(1，-1)，求a共线的单位向量。,例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(1, 3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和中心M的坐标,D(1，2),例8. 已知向量a=(1，5)，b=(3，2)，求a在b方向上的正射影的数量。,例9已知 ， ，且 与 夹角为120求 ； ； 与 的夹角。,五.应用举例,向量的长度与夹角问题,（1）k=19,（2） , 反向,五.应用举例,平行与垂直问题,例10,练习: 1、若a=(1,2)，b=(-2, ), 且a与b的夹角为钝角，则的取值范围是,3. 在四边形ABCD中， = =（1，1）， ，求四边形ABCD的面积。,特别注意：,由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。,（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心,思考：,向量垂直的判定,向量平行的判定(共线向量的判定),向量的长度,向量的夹角,考点提示,
