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1、,2.3.1平面向量数量积的物理背景及定义,向量数量积的物理背景与定义,问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F|s|cos，是F与s的夹角,其中|F|cos就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量。,力做的功：W = |F|s|cos，,以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的运算.,（1）两个向量的夹角；（2）向量在轴上的射影.,两个向量的夹角,已知两个非零向量a、b， =a， = b.则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作.并规定0 ,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量
2、有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）范围0a ，b；（3）a ，b=b ，a；（4）a ，b=0时, a、b同向；a ，b=时，a、b反向；a ，b= 90时， a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.,向量在轴上的正射影,（1）概念： 已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影.,（2）正射影的数量：,向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作： al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为，则有,1. a在轴l上的射影或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量
3、.2. 当为锐角时，数量为正值；3. 当为钝角时，数量为负值；4. 当为直角时，数量为0；5. 当 = 0时，数量为 |a|；6. 当 = 180时，数量为 |a|.,向量的数量积（内积）,定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：ab .即 ab =,1数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.,2两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个向量。,3两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.,1. ea = ae =|a|cos;,2. ab ab = 0,3. aa = |a|2或,4. cos
4、= ；|ab| |a|.|b| .,例1.已知|a|=5，|b|=4，=120，求ab.解： ab =|a|b|cos =54cos120 = 10.,练习 1. 已知|a|，|b|，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab,ab时， ab =18；ab时，ab=0； a与b的夹角是60时，ab=9.,练习2、判断正误，并简要说明理由: a00； 0a；0 ； |ab|a|b|； 若a0，则对任一非零b有ab； ab，则a与b中至少有一个为0； 对任意向量a，b，c都有(ab)ca(bc)； a与b是两个单位向量，则a2=b2.,例2. 求证菱形的两条对角线互相垂直.,例3. 已知|a|
5、=2，|b|=3，且分别满足下列条件，求ab. (1) =120 ;(2) ab; (3) a/b,解: (1)=120 ， 所以ab=23 (0.5)= 3.,(2) ab, 所以 ab=0.,(3) a/b, 所以 ab=6或6.,例4. 如图，ABC为等腰直角三角形，且直角边AB=1，求,解：,又,例5. 已知|a|=3, |b|=5，且ab=12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。,解：因为,所以a在b方向上的正射影的数量是,b在a方向上的正射影的数量是,85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险
6、，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。
7、托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己
8、；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度
9、接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的
10、水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，
11、发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二
12、级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机
13、会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金,
