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1、导数的应用(2),教学目标:用导数解决零点问题,证明不等式及其应用.,教学重点:重点是用导数解决有关函数零点的问题, 不等式的证明及应用结论解决有关问题.,教学难点:难点是用导数解决函数零点问题时对参数 的讨论.,复习回顾,1.求函数的单调区间：,3.求函数的极值的方法及步骤：,4.求函数的最值的方法及步骤：,2.已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围：,导数的应用(2),2.设a1,函数 (1)求f(x)的单调区间 (2)证明f(x)在 上仅有一个零点. (3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线 与直线OP平行(O是坐标原点),证明:,1.已知函数 有两
2、个极值点,则实数a的取值范围() A) B) C)(0,1) D),变式训练1:设函数 (1)当k0时,求函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.,导数的应用(2),3.已知函数 (1)若 ,求f(x)的单调区间. (2)若当x0时f(x)0,求实数a的取值范围.,变式训练3.设函数 (1)若a=0,求f(x)的单调区间. (2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.,变式训练2.已知函数 ,g(x)=-lnx (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线 (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数 h(x)=minf(x),g(x
3、)(x0),讨论h(x)零点的个数.,例题解答,1.解 由题意知, 有两个实根 设 ,则,1.已知函数 有两个极值点,则实数a的取值范围() A) B) C)(0,1) D), 当a0时 ,g(x)在 单调递增 g(x)不可能有两个零点,则f(x)不可能有两个极值点.,当a0时,由 ,得 当 时, ,g(x)单调递增 当 时, ,g(x)单调递减 所以g(x)有最大值 由题意知 ,得 故a的取值范围为,例题解答,1.已知函数 有两个极值点,则实数a的取值范围() A) B) C)(0,1) D),1.解 由题意知, 有两个实根,即 有两个实根即y=lnx与y=2ax-1的图像在 有两个交点如图
4、,设y=lnx与y=2ax-1的图像切于点(m,lnm) 则由 ,解得 m=1所以k=2a=1，得故a的取值范围为,变式训练1:设函数 (1)当k0时,求函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.,变式训练1的答案,解:(1)f(x)的定义域为,由k0,可得所以当 0 x2时, ,函数f(x)单调递减所以当 0 x2时, ,函数f(x)单调递增所以f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间(0,2).,变式训练1的答案,(2)由(1)知,当k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)无极值点,当k0时,设函数则,当0k1时
5、,由0X2,得 ,g(x)单调递增 故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.,当 时,由0X2,得 ,g(x)单调递减 故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.,当 时,由 ,得x=lnk 当0 xlnk时, ,函数g(x)单调递减 当lnkx2时, ,函数g(x)单调递增 所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk). 由函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,得,，解得 ,故k的取值范围为,变式训练1的答案,(2)由(1)知,当k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)无极值点,当k0时,设函数y=f(x)在(
6、0,2)上有两个极值点等价于g(x)在(0,2)上有两个零点则 与y=kx在(0,2)上有两个交点画简图如下:,当直线y=kx过点 时,当直线y=kx与 切于点 时 ,解得m=1所以k=e故k的取值范围为,例题解答,解: 对于 所以f(x)的单调递增区间为,2.设a1,函数 (1)求f(x)的单调区间 (2)证明f(x)在 上仅有一个零点. (3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线 与直线OP平行(O是坐标原点),证明:,2.证明:有(1)知f(x)在R上单调递增,且f(0)=1-a1,故a-10,所以,例题解答,所以 ,故所以 ,使得又f(x)在 上单调递
7、增所以f(x)在 上仅有一个零点.,(3)证明: 令 ,得x=-1 所以点P坐标为 所以OP的斜率为 由f(x)在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,得,要证只需证即证设则由 ,得m=0当 时, ,g(m)单调递减当 时, ,g(m)单调递增所以故 成立 所以,例题解答,变式训练2的答案,解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点 ,则 ,即 解得 当 时,x轴是y=f(x)的切线.,变式训练2.已知函数 ,g(x)=-lnx (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线 (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数 h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.
8、,(2)当x1时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0 故h(x)在 无零点.,当x=1时,若 ,则f(1)= h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点 若 ,则h(1)=f(1)0,h(x)无零点.,变式训练2的答案,当00无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数. ()当a0时, ,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)0 故f(x)(0,1)上无零点. ()当a-3时, , f(x)在(0,1)单调递减 且 ,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.,()当-3a0时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增 故f(
9、x)在(0,1)上的最小值为,a)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上无零点,b)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上有一个零点,变式训练2的答案,c)当 ,即 时,综上所述:当 或 时,h(x)有一个零点。 当 或 时,h(x)有两个零点。 当 时,h(x)有三个零点。,故当 ,f(1)0,f(x)在(0,1)内有两个零点,当 时,f(1)0,f(x)在(0,1)内有一个零点.,例题解答,3.已知函数 (1)若 ,求f(x)的单调区间. (2)若当x0时f(x)0,求实数a的取值范围.,解:(1) 时, 由 ,得x=0或x=-1 当 时, ,f(x)单调递增 当 时, ,f(x)单调递减 故
10、f(x)的单调递增区间为 f(x)的单调递增区间为,(2) 设 ,则 若a1,当x0时, ,g(x)单调递增 ,而g(0)=0 所以当x0时,g(x)0,即f(x)0,例题解答,若a1,则当 时, ,g(x)单调递减而g(0)=0,从而当 时,g(x)0,即f(x)0综上得a的取值范围为,法二:由f(x)0 ,得 当x=0时,00恒成立 当x0时, 恒成立,设 则 设 , 所以h(x)在 上单调递增,h(x)h(0)=0 故 ,则g(x)在 上单调递增。 所以 由于 在 恒成立。 所以a1 a的取值范围为,变式训练3的答案,(2) ,则 令 ,则,当 时, 恒成立,g(x)在 单调递增 所以g
11、(x)g(0)=0,即 ,故f(x)在 单调递增 所以f(x)f(0)=0,即不等式f(x)0成立.,当 时,g(x)在(0,ln2a)单调递减,而g(0)=0 g(x)g(0)=0,则 ,f(x)在(0,ln2a)单调递减 而f(0)=0,故f(x)0,不合题意.,综上,得a的取值范围为,解:(1)a=0时, ,则 当x0, ,f(x)单调递增 故f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为,变式训练3.设函数 (1)若a=0,求f(x)的单调区间. (2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.,变式训练3的答案,解:(1)a=0时, ,则 当x0, ,f(x)单调递增 故f(x)的单调递增区
12、间为 ,单调递减区间为,(2) 由(1)知 ,当且仅当x=0时等号成立 当1-2a0时,即 时, ,而f(0)=0 于是x0时,f(x)0,由 ,得 ,故从而当 时,故当0 xln2a时, ,f(x)单调递减,而f(0)=0,于是f(x)0综上得a的取值范围为,1.设 ,x0,n (1)求 (2)证明: 在 内有且仅有一个零点 (记为 ),且,课后作业,2.已知函数 (1)设g(x)是f(x)的导函数,求函数g(x)在区间 上的最小值. (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a1,3.设f(x)=lnx-p(x-1) (1)当p=1时,求f(x)的单调区间。
13、(2)设函数 (x1) 求证:当 ,g(x)0成立.,4.已知函数 (1)求f(x)的单调区间 (2)若a0,讨论是否存在 ,使得,课后作业,5.已知函数 (1)设a=2,求f(x)的单调区间. (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围。,6.已知函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线 方程为x+2y-3=0 (1)求a.b的值 (2)证明:当x0且x1时,7.已知函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线 方程为x+2y-3=0 (1)求a.b的值 (2)如果当x0且x1时, ,求k的取值范围.,1.设 ,x0,n (1)求 (2)证明: 在 内
14、有且仅有一个零点 (记为 ),且,课后作业答案,解:(1) 所以 则 -得, 所以,(2)因为 ,所以 在 内至少有一个零点.,课后作业答案,又 ,所以 在 内单调递增所以 在 内有且仅有一个零点 .,由于 ,所以由此可得 故所以即 在 内有且仅有一个零点 ,且,课后作业答案,2.已知函数 (1)设g(x)是f(x)的导函数,求函数g(x)在区间 上的最小值. (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a1,解:(1) ,即 所以 ,当,当2a1时,即 , ,g(x)在 单调递减 故g(x)在 上的最小值为g(1)=e-2a-b,当 时,由 得x=ln2a 当 ,
15、 ,g(x)在 单调递减 当 , , g(x)在 单调递增,当2a1时,即 时, ,g(x)在 单调递增 故g(x)在 上的最小值为g(0)=1-b,课后作业答案,故g(x)在 的最小值为g(ln2a)=2a-2aln2a-b综上,当 时,g(x)在 的最小值为g(0)=1-b 当 时,g(x)在 的最小值为g(ln2a)=2a-2aln2a-b 当 时,g(x)在 的最小值为g(1)=e-2a-b,(2)设 为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 可知f(x)在区间 上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g(x)在区间 内存在零点 同理,由 ,知g(x)在区间 内存在零点 所以,g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.,课后作业答案,所以 此时g(x)在 单调递减,在 单调递增 因此 必有g(0)0,g(1)0 即1-b0,e-2a-b0 又f(1)=e-a-b-1=0,得b=e-a-1 所以1-(e-a-1)0,e-2a-(e-a-1)0 解得e-2a1 故f(1)=0,若f(x)在(0,1)内有零点,则e-2a1,由(1)知当 ,g(x)在 单调递增,故g(x)至多有一个零点,当 ,g(x)在 单调递减,故g(x)至多有一个零点,课后作业答案,课后作业答案,课后作业答案,课后作业答案,
