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1、沪科版九年级数学下册精编课件系列,第24章 圆,24.7 弧长与扇形面积,第1课时 弧长与扇形面积,1,课堂讲解,弧长公式扇形面积公式,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,1. 圆的周长公式是什么？2. 圆的面积公式是什么？3. 什么叫弧长？,1,知识点,弧长公式,弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长C1的计算公式为C1要点精析：(1)应用公式时“n” 和“180”不应写单位.(2)题目若没有写明精确度，可以用含“”的式子表示 弧长.(3)在弧长公式中，已知C1，n，R中任意两个量，都可 求出第三个量.,知1讲,知1讲,弧、弧长、弧的度数间的关系：弧相等表示弧长、弧的度数
2、都相等；度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧，弧的度数不一定相等,例1 一滑轮装置如图，滑轮的半径R =10 cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3.14)解：设半径绕轴心O按逆时针方向旋转 n，则解方程，得n 90.答：滑轮按逆时针方向旋转的角度 约为90.,知1讲,（来自教材）,总 结,知1讲,弧长公式中180与n都没有单位。,例2 (衡阳)如图，O的半径为6 cm，直线AB是O的切线，切点为点B，弦BCAO，若A30，则劣弧BC的长为_cm. 设由切线性质可知OBA90. 因为A30，所以BOA6
3、0，因为 BCAO，所以CBO60.又因为OBOC，所 以OBC为等边三角形，所以BOC60，代 入公式C1 ，得 2(cm),知1讲,2,导引：,总 结,知1讲,求弧长需要两个条件：(1)弧所在圆的半径；(2)弧所对的圆心角当题中没有直接给出这两个条件时，则需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆的半径或弧所对的圆心角,例3 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长 (或子午圈长)的简单方法.如图,点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1希腊里158.5 m).当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在
4、亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是7.2，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？,知1讲,（来自教材）,解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角AOS = =7.2. 设地球的周长（即O的周长）为C， 则=250 000(希腊里)39 625(km).答：地球的周长约为39 625 km.,知1讲,（来自教材）,总 结,知1讲,同圆中，弧长之比等于圆心角之比。,1如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA= 3，圆心角AOB =120，求 的长.2 (中考包头)120的圆心角对的弧长是6，则此弧所在圆的半径是()A3 B4 C9 D18,知1练,（来自教材）,3(中考成都)A
5、B为O的直径，点C在O上，若OCA50，AB4，则 的长为() B. C. D. ,知1练,4(中考兰州)如图，O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点(P与A，B，C，D不重合)，经过P作PMAB于点M，PNCD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45时，点Q走过的路径长为()A. B. C. D.,知1练,2,知识点,扇形面积公式,知2讲,1扇形定义：我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫 做扇形2扇形面积公式： (1) S扇形 (2) S扇形 C1R(C1是扇形的弧长)应用方法：当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形 当已知半径 R 和弧
6、长求扇形的面积时，选用公式S扇形 C1R.,知2讲,特别注意：(1)已知S扇形，C1，n，R四个量中的任意两 个量，可以求出另外两个量(2)在扇形面积公式S扇形 中，n表示1的n倍， 360表示1的360倍，n，360不带单位拓展：(1)弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形(2)弓形的面积：当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面 积与三角形面积的差，即S弓形S扇形S三角形； 当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积 的和，即S弓形S扇形S三角形； 当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半， 即S弓形 S圆,知2讲,例4 如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，
7、D是优弧BC上的一点，ADB30. (1) 求AOC的度数； (2) 若弦BC6，求图中阴影部分的面积 (1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同 圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的关系求得 AOC的度数；(2)先求出O的半径，再求出圆心 角BOC的度数，利用面积割补法求出阴影部分的 面积,导引：,知2讲,(1)弦BC垂直于半径OA，BECE， . 又ADB30，AOCBOA60.(2)BC6，CE BC3. 在RtOCE中，OCE30， 设OEx，则OC2x，CE x3，解得x . OE ，OC2 . ，BOC2AOC120， S阴影S扇形BOCSOBC (2 )2 6 43 .,解：,总 结
8、,知2讲,本题中求弓形面积可转化为求两个规则的基本图形(扇形、三角形)面积的和或差来解决将所求面积转化为其他几个规则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法,知2讲,例5 如图，在O中，半径OA6 cm，C是OB的中点，AOB120，求阴影部分的面积 要求阴影部分的面积， 由于图形不规则，可 转化为两个规则图形 的面积之差， 即S阴影S扇形AOBSOAC .,导引：,知2讲,如图，过点C作CDAO，交AO的延长线于点D.OAOB6 cm，C为OB的中点，OC3 cm.AOB120，COD60，OCD30.在RtCDO中，OD OC cm， CD (cm)SAOC (cm2)又S扇形AOB 1
9、2(cm2)，S阴影S扇形AOBSAOC (cm2).,解：,总 结,知2讲,(1) 本题中的阴影部分虽然不是规则图形，但它的面 积可以转化为两个规则图形的面积差，因此我们 只需分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即 可达到目的(2) 求不规则图形面积时，常采用的方法有： 作差法；割补法；拼凑法；等积变形法； 迁移变换法；化零为整法；平移法等,知2讲,例6 如图所示，两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分的面积等于多少？ 观察图形可知阴影部分的 面积等于大半圆的面 积减去小半圆的面积，因此 当小半圆在大半圆范围内 左右移动时，其阴影部分面积都不改变，所以我们
10、可 以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样求阴影部 分面积较容易,导引：,知2讲,将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，则阴影部分面积等于半环形面积作OEAB于E(易知E为切点)，连接OA，AE AB12.S阴影 OA2 OE2 (OA2OE2) AE2 12272.,解：,总 结,知2讲,利用平移等图形变换可将不规则图形面积转化为规则图形面积的和、差进行求解,已知：扇形AOB的半径为12 cm , AOB=120，求 的长度和扇形AOB的面积.已知：扇形的圆心角为150，弧长为20，求扇形面积.,知2练,（来自教材）,3,知2练,3 如图，圆柱形排水管的截面半径OC=0.6 m，水面高
11、DC =0.3 m,求截面中有水部分的面积,（来自教材）,(中考内江)如图，点A，B，C在O上，若BAC45，OB2，则图中阴影部分的面积为()A4 B. 1C2 D. 2,知2练,(中考咸宁)如图，在ABC中，CACB，ACB90，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90的扇形DEF，点C恰在 上，设BDF(090)当由小到大变化时，图中阴影部分的面积()A由小变大 B由大变小C不变 D先由小变大，后由大变小,知2练,6 (中考枣庄)如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30, CD2 ，则阴影部分的面积为()A2 B C. D.,知2练,7 (中考泰安)如图，菱形ABCD的边长为2，A60，以点B为圆心的圆与AD，DC相切，与AB，CB的延长线分别相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D,知2练,本节应掌握：1弧长的计算公式l R，并运用公式进行计算；2扇形的面积公式S R2，并运用公式进行计算；3探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一 方求另一方,
