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1、3.1.1 数系的扩充 和复数的概念,创设情境引入新课,数系的扩充,计数的需要,正整数,零,自然数,自然数N,数系的扩充,数系的扩充,珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.,+8844,-155,相反量的需要,负整数,数系的扩充,自然数N,整数Z,负整数,数系的扩充,等额分配,分数,自然数N,整数Z,有理数Q,负整数,分数,数系的扩充,数系的扩充,度量需要,无理数,1,1,？,边长为1的正方形的对角线长是多少?,自然数N,整数Z,有理数Q,实数R,负整数,分数,无理数,数系的扩充,数系的扩充,【问题3】 在有理集中方程 有解吗?,【问题2】 在整数集中方程 有解
2、吗?,【问题1】 在自然数集中方程 有解吗?,解方程 ？,i的引入,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,思考？,引入一个新数：,1、新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进 行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.,i的引入,i的引入,1545年卡尔丹在解三次方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念,i的引入,i的引入,i的引入,1801年 高斯系统使用了i这个符号,使之通行于世,高 斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777-1855）,新数 i 叫做虚数单位,并规
3、定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进 行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.,i的引入,(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数, 通常用字母 z 表示.,(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.,2复数的概念,实部,虚部,其中 称为虚数单位.,(2),复数的概念,1、请指出下列复数的实部与虚部。,0,复数的概念,练习,1、请指出下列复数的实部与虚部。,0,复数的概念,当b= 0 时，z为实数,当a= 0 且b 0时，z为纯虚数,非纯虚数的虚数：a 0,b 0,特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0,当b 0 时，z为虚数,
4、练习,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系,复数的分类,概念,虚数,有理数Q,整数Z,自然数N,实数R,负整数,分数,无理数,数系的扩充,复数C,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,复数的相等,概念,注：两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。,例1:实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,复数的分类,例题,例2: 已知 ，其中 求,复数的相等,例题,计算：,1,-1,B,你能否找到用来表示复数的几何模型呢？,x,o,1,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数
5、轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,平面向量,x,O,z=a+bi,y,复数的绝对值,(复数的模),的几何意义:,Z (a,b),对应平面向量 的模| |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,| z | =,例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(3
6、)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),(1)复数的模能否比较大小？,这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足|z|=5(zC)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,小结:,1.虚数单位i的引入；,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。,辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,当堂练习,1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 （ ） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的 值为 。3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的 值为 。,
