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1、3.5 拉格朗日中值定理与洛必达法则,一、案例引入,二、讨论分析,1、拉格朗日中值定理,2、洛必达法则,在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外,如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处,的切线水平的.,案例引入,1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）,如果函数 f (x)满足下列条件：,（1）在闭区间a, b上连续;,（2）在开区间(a, b)内可导，,那么在(a, b)内至少存在一点，使得:,一、拉格朗日（Lagrange）中值定理,或,讨论分析,由定理的条件可知,连接端点 A 和 B 作弦 AB , 则,2、拉格朗日中值定理 的几何直观,曲线弧 内部每一点
2、处都有不垂直于 x 轴的切线.,讨论分析,足拉格朗日中值定理的条件,解,所以函数在0, 2上满,上连续，,在开区间(0, 2)内可导，,如果满足，求出使定理成立的 的值。,故在闭区间0, 2,是初等函数，,又,令,解得,即,讨论分析,解 设,显然它在 上满足,即,成立,拉格朗日中值定理的条件，所以有,显然有,3、拉格朗日中值定理应用,（1）证明不等式； （2）证明等式,即,讨论分析,例3. 证明不等式,证: 设,朗日中值定理条件,即,因为,故,因此应有,显然 f (t)在0, x上满足拉格,即,讨论分析,则,即,由于,故 f (x) 在区间 I 上为一常数,即函数f (x)在区间 I 上任意两
3、点的函数值相等，,f (x)在区间 I上必为一常数,所以,显然，,讨论分析,证: 设,由推论可知,(C为常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,小结:,欲证,时,只需证在 I 上,例4. 证明等式,在(-1, 1)上有：,讨论分析,则,( C 常数 ),即,练习:,讨论分析,若函数 满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,4、补充：,罗尔（ Rolle ）定理,应用说明：,（1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。,（2）证明方程 有根。,讨论分析,例5. 证明方程,有且仅有
4、一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 根的存在性 .,由零点定理知存在,使,设,即,即方程 有小于 1 的正根,讨论分析,2) 根的唯一性 .,假设另有,满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,讨论分析,例6 若方程 有正根,证明：,方程 在 内必定有根。,证明：令,则 在 上,连续，,在 存在，且,所以 在 满足罗尔定理的条件。,根据罗尔定理可知，在 上至少存在一点,使,即 是方程 的根。,讨论分析,二、洛必达法则,当 （或 ）时，如果两个函数,那么极限,都是无穷小或都是无穷大，,可能存在、也可能不存在,通常称这种极限为未定式的极限，并分别简记,为 或,讨论分析,又满足条
5、件：,（1）,则,1、 型未定式,讨论分析,这种通过分子与分母分别求导来确定未定式的,结论仍然成立,极限值的方法称作洛必达法则,说明：如果把极限过程换成：,讨论分析,例7 求,由洛必达法则，得,讨论分析,例8 求,由洛必达法则，得,注意 ：如果应用洛必达法则后所得到的极限仍然是,未定式，且满足洛必达法则的条件，则可继续使用,洛必达法则，直至求出极限为止,讨论分析,极限是否为未定式,特别注意的是，在每次使用洛必达法则前, 都要验证,讨论分析,例9 求,由洛必达法则，得,讨论分析,练习：求,讨论分析,又满足条件：,存在（或为无穷大），,则,2、 型未定式,；,讨论分析,例10 求,由洛必达法则，得
6、,讨论分析,例11 求,由洛必达法则，得,讨论分析,练习： 求极限,讨论分析,3、未定式的其它类型：,（2）和差形式的未定式，简记为,（3）幂指形式的未定式，简记为,（1）乘积形式的未定式，简记为,讨论分析,由洛必达法则，得,讨论分析,例13 求,原式,讨论分析,例14 求,，,所以,由洛必达法则，得,讨论分析,注：洛必达法则对求未定式的极限并非始终有效，,而 不存在(也不是无穷大)，所以右端的,有些未定式利用洛必达法则求不出极限,是 型的未定式，,如,极限不存在,讨论分析,该极限是否就真的不存在呢？,事实上：,讨论分析,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余
7、爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,讨论分析,罗尔是法国数学家，1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。 罗尔于1691年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。 在一百多年后，1846年尤斯托(Giusto Bellavitis) 将这一定理推广到可微函数，并将此定理
8、命名为罗尔定理。,讨论分析,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,讨论分析,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,讨论分析,
