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1、概率统计韩旭里谢永钦版3章课件,概率统计韩旭里谢永钦版3章课件,第三章 随机向量,第一节 二维随机向量及其分布,第二节 边缘分布,第三节 条件分布,第四节 随机变量的独立性,第五节 两个随机变量的函数的分布,第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布第二,1、二维随机向量及其分布函数,定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是=e.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).,定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数 F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函
2、数或联合分布函数。,第一节 二维随机向量及其分布,上一页,下一页,返回,1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的,(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：,(2) 0F(x,y)1,(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.,上一页,下一页,返回,(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(2),2、二维离散型随机变量,定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。,设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2, ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2,(1)非负
3、性: pij0，i，j=1，2；,上一页,下一页,返回,2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有,的联合分布律。,和,或随机变量,的概率分布或分布律，,离散型随机变量,为二维,称,Y,X,Y,X,j,i,p,Y,Y,x,X,P,ij,),(,.),2,1,(,=,=,上一页,下一页,返回,的联合分布律。和或随机变量的概率分布或分布律，离散型随机变量,(X,Y)的分布律也可用表格形式表示,上一页,下一页,返回,(X,Y)的分布律也可用表格形式表示 Y X,例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布
4、律,并求PX1,Y2,PX+Y=2,及PX=1.,解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).,由古典概率计算可得,上一页,下一页,返回,例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3,于是(X,Y)的分布可用表示,由(X,Y)的分布律,所求概率为,上一页,下一页,返回,于是(X,Y)的分布可用表示 Y 0,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,3 、二维连续型随机变量,定义5：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y
5、).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有,上一页,下一页,返回,3 、二维连续型随机变量定义5：设(X,Y)为二维随机向量,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一页下一页返回,设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为,设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即DG,且D的面积为S(D),那么,二维均匀分布,则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.,上一页,下一页,返回,设G是平面上的有
6、界区域,其面积为S,若二维随机,若(X.,Y)的概率密度为,二维正态分布,上一页,下一页,返回,若(X.,Y)的概率密度为二维正态分布上一页下一页返回,4、n维随机变量,设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e). 设随机变量 是定义在同一样本空间 上的n个随机变量，则称向量 为n维随机向量或n维随机变量。简记为,设 是n维随机变量，对于任意实数 ,称n元函数为n维随机变量 的联合分布函数。,上一页,下一页,返回,4、n维随机变量 设E是一个随机试验,它的样本,X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知(X,Y)的联合分
7、布函数F(x,y)时，可通过,求得两个边缘分布函数,第二节 边缘分布,上一页,下一页,返回,X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,上一页,下一页,返回,例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为上一页下一页返,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,1、二维离散型随机变量的边缘分布,上一页,下一页,返回,1、二维离散型随机变量的边缘分布上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,2、二维连续型随机变量的边缘分布,上一页,下一页,返回,2、二维
8、连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维连续型随机,上一页,下一页,返回,yOx上一页下一页返回,第三节 条件分布,1、二维离散型随机变量的条件分布律,定义6:,上一页,下一页,返回,第三节 条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律定义6:,例1： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.,解: 由题意,X=i表示第i次首次击中目标,Y=j表示第j次击中目标,因而ij,X=i, Y=j表示第i次和第j次击中
9、目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：,上一页,下一页,返回,例1： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,LL,2,1|,2,11122+=-,2、二维连续型随机变量的条件分布,同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数,上一页,下一页,返回,2、二维连续型随机变量的条件分布定义7： 对固定的实数y，设,设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有：,亦即,上一页,下一页,返回,设(X,Y)的
10、分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y),类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为,若记 为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：,上一页,下一页,返回,类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为 若记,且有边缘概率密度,当1y1时有：,解： (X,Y)的概率密度为,例2： 设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)x2+y21上服从均匀分布，求条件概率密度 。,上一页,下一页,返回,且有边缘概率密度 当1y1时有： 解： (X,Y)的概,特别y=0和y= 时条件概率密度分别为,类似于条件概率的乘法公式，也有,上一页,下一页,返回,特别y=0和y= 时条件概率
11、密度分别为类似于条件概,设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于,第四节 随机变量的独立性,定义8： 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件Xx与Yy相互独立，即有P Xx , Yy =PXxPYy，则称随机变量X与Y相互独立。,由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件 x1Xx2与事件 y1Yy2相互独立”。,上一页,下一页,返回,设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y,结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件
12、XI1与YI2相互独立”。,Px1Xx2 ,y1Yy2=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)=FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1)= FX(x2)-FX(x1) FY(y2)-FY(y1)= Px1Xx2Py1Yy2,所以事件x1Xx2与y1Yy2是相互独立的。,当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。,上一页,下一页,返回,结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件,例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示
13、。,问X与Y相互独立吗？,解: X与Y的边缘分布律分别为,X -1/2 1 1/2pi. 1/4 1/4 1/2Y -1 0 2p.j 2/5 1/5 2/5,逐一验证可知，pij= pi. p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。从而X与Y相互独立。,上一页,下一页,返回,例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。X,例2: 设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求PX+Y1。,由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为,于是,解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则,上一页,下一页,返回,例2: 设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求P,
14、第五节 两个随机变量的函数的分布,1、二维离散型随机变量的函数分布,例 设（X,Y）分布律为,求 X+Y, X-Y ,XY及X/Y的分布.,解：先列出下表,X,上一页,下一页,返回,第五节 两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函,于是X+Y的分布律为,上一页,下一页,返回,P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1,同理X-Y的分布律为,XY及X/Y的分布律分别为,上一页,下一页,返回,同理X-Y的分布律为X-Y-101P1/31/31/3X/Y,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情
15、况下，Z是一连续型随机变量。,为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数,2、二维连续型随机变量的函数分布,上一页,下一页,返回,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，为求,即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过 求出Z的概率密度 。,求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其中 。,上一页,下一页,返回,即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那,例1：设 且X与Y相互独立，求 的概率密度。,由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为,先求Z的分布函数FZ(z),解 ：
16、X和Y的概率密度分别为,当z0时 FZ(z)=0,当z0时,上一页,下一页,返回,例1：设,所以,于是可得 的概率密度,上一页,下一页,返回,所以 于是可得,如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布 则 服从参数为的瑞利分布。,设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令 ，则Z的分布函数为,(1)和的分布,上一页,下一页,返回,如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞,固定z和y对积分 作换元法，令x+y=u得,于是：,上一页,下一页,返回,固定z和y对积分,由概率密度定义，即得Z的概率密
17、度为,由X与Y的对称性，又可得,当X与Y相互独立时，有,其中 分别是X和Y的密度函数。,上一页,下一页,返回,由概率密度定义，即得Z的概率密度为 由X与Y的对称性，又可得,证 ： 由定义，Z=X+Y的概率密度为,当z0时 fZ(z)=0,证明 ： X+Y服从参数为 的 分布,例2：设X，Y是相互独立且分别服从参数1,和 2, 的分布，即X，Y的概率密度分别为,上一页,下一页,返回,证 ： 由定义，Z=X+Y的概率密度为当z0时 f,当z0时,上一页,下一页,返回,当z0时,上一页下一页返回,综上所述，Z=X+Y的概率密度为,这正是参数为 的 分布的概率密度。,上一页,下一页,返回,综上所述，Z=X+Y的概率密度为这正是参数为,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,上一页,下一页,返回,上一页下一页返回,X,Y,X,Y,上一页,下一页,返回,XYXY上一页下一页返回,解: (1)串联情况,上一页,下一页,返回,解: (1)串联情况XY上一页下一页返回,(2)并联情况,上一页,下一页,返回,(2)并联情况XY上一页下一页返回,Thank You !,Thank You !,
