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1、數學史融入數學教學之策略概述(一),報告人：陳冠良,前言,強調數學如果脫離豐沃文化的基礎，就可能會被簡化為一系列的技巧，因此其形象將被扭曲，這種情形於學生接受教育時，就不斷地發生。使學習者瞭解數學是深深地鑲嵌於人類文化發展之中。數學史宛如一座巨大的冰山，本講座僅能做概略的描述，無法一窺全貌。以教學為主軸，嘗試藉由數學史的融入，為數學教學注入新的元素。,為什麼要研究數學史,再也沒有什麼故事比科學思想發展的故事更有魅力了。 W.C.Dampier學習數學史不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能更豐富他們的思想；撫慰他們的心靈，並培植他們的高雅氣質。George Sarton
2、,1884-1955,數學史於數學課堂中所扮演的角色,媒介的角色額外的習題刺激另類思考人文啟發的角色跨學科整合減緩學習壓力激勵個別策略人格薰陶（多元）文化的關懷,媒介的角色,數學史以數學概念、數學方法和數學思想之起源與發展，及社會、政治、經濟和一般文化的關連為主要研究的範疇。以數學史為橋樑，能將學生的心靈與數學概念及思維作有機的連通。,額外的習題,透過適當的安排，使學生接觸文本，進一步瞭解數學在人類文明的歷程所扮演的角色。使學生瞭解數學是實際滲透於人類的生活之中。以海島算經為例：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表却行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末三
3、合。從後表却行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問：島高及去表各幾何？,額外的習題,摘錄自http:/,有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量度海島的高度和離岸距離,（選自沈康身，中國古代测量技術的成就）,刺激另類思考,學習由不同的角度解決問題(一）。群羊逐草選自算法統宗甲趕群羊逐草茂，乙攜肥羊一只隨其後。試問甲及一百否？甲云所得無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰參透？答曰：甲羊三十六只,刺激另類思考,學習由不同的角度解決問題(二）。隔牆分銀選自算法統宗隔牆聽得客分銀，不知人數不知銀; 七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。 答曰：六人，銀四十六
4、兩,人文啟發的角色,歷史性的啟發。數學發展的歷史，是文明史，亦是文化發展的歷史。函數的七次擴張，伴隨著科學的發展和社會的進步。哲學性的啟發。不可公度比的發現、芝諾悖論(二分說、阿奇里斯追龜、飛箭靜止)審美性的啟發。9*9+7=8898*9+6=888987*9+5=88889876*9+4=8888898765*9+3=888888987654*9+2=88888889876543*9+1=8888888898765432*9+0=888888888,跨學科整合,科學、藝術、歷史、音樂、建築等皆與數學息息相關。數字與詩： A. 一去二三里，煙村四五家。 樓台六七座，八九十枝花。 B. 一花一柳
5、一點磯，一抹斜陽一鳥飛 一山一水一中寺，一林黃葉一僧歸。清。何佩玉黃金分割：埃及金字塔、希臘雅典帕特農神廟、維納斯女神像、芭蕾舞演員墊起腳尖、窗戶大小規格等。人體的四個黃金分割點：肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節。肚臍以上與肚臍以下咽喉至頭頂與咽喉至肚臍膝蓋至腳後跟與膝蓋至肚臍肘關節至肩關節與肘關節至中指尖,減緩學習壓力,瞭解數學發展是歷經千百年的累積，藉以減輕在授課時數侷限下，學生學習數學所產生的挫折與壓力。HPM通訊第二卷第一期諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 . 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來
6、亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）,激勵個別策略,學生的思維與數學發展歷程的比較，可使學生意識到數學的溫度。又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。 約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。可半者半之:分子和分母可以用2除之者，先同除以2副置分母子之數:(91,49)以少減多：(91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7)更相減損，求其等也： (91-49,49)=(42,49)= (42,49-42)=(42,7)=(7,7)，7就是等數。以等數約之：分子與分
7、母同除以7以上方式與輾轉相除法有異曲同工之妙，可於介紹輾轉相除法前做鋪陳或兩法之比較。,人格薰陶,由數學家契而不捨的精神激發學生求真、求善、求美的情懷。引導學生善用理性思考解決問題。分析、歸納、演繹、類比,（多元）文化的關懷,不同文化與地區對數學的認知與發展歷程，同中有異，異中存同。認識不同文明的發展，進而尊重與關懷各種不同文化。,如何在數學教學中融入數學史：know-how,基本教學策略：說故事：提供銘言佳句：有畫龍點睛之效引入另類解法貼近文本與生活脈絡連結,如何在數學教學中融入數學史：know-how,進階教學策略（一）歷史花絮（snippets）數學史的原始文獻（primary sour
8、ces）練習題（worksheets)提供2-3堂課使用的歷史套裝（historical packages）恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternative conceptions）、觀點的改變（change of perspective）、隱含假設的修訂（revision of implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive arguments）等等,如何在數學教學中融入數學史：know-how,進階教學策略（二）歷史上的問題回到過去的數學實驗活動數學話劇多媒體工具戶外數學古蹟的教學活動利用網路搜尋資料建立讀書會,基本教學策略-說故事,
9、數學故事的八種類型數學是什麼？的故事：為什麼要學數學？的故事：數學的人文啟發的故事：數學應用於日常生活的故事：數學益智的故事：數學文本的故事：數學發現的故事：數學家的故事：,數學是什麼？的故事,數學歷史解釋的幾大方向：按時代區分按數學對象、方法等本身的變化過程。按數學發展的社會背景。,數學的人文啟發的故事,數學的歷史大部分隱藏在我們所見的文化中，也牽涉到人類生活的每一層面。舉凡交易、農作、宗教、打仗等都與數學發生交互的影響。,數學應用於日常生活的故事,數學思考與所有人類活動息息相關。如：地圖繪製、航海、透視藝術、無線電、電視、電話、電腦等。生物世界的數學本質，可從費波那契數列中略窺一二，尤其是
10、在植物世界，例如；葉子沿著莖的排列，花瓣的數目，百合花有三個花瓣，毛良有五個花瓣，飛燕草有八瓣，金盞花有十三瓣，在向日葵中也發現費氏數列。,數學益智的故事,埃拉托斯特尼 (Eratosthenes,276B.C.195B.C.)測量地球圓周長：幾何韓信點兵：同餘丟番圖的墓誌銘：代數尤拉七橋問題：一筆畫莫比烏斯帶：單側區面,數學益智的故事,【同餘小傳】：一、金庸武俠小說射雕英雄傳中有一段故事：有一位住在黑沼，中自稱神算子的瑛姑，武功高強，數學卻不甚高明，經常苦思數月，解一些算術或代數中的問題。郭靖與黃蓉因逃避裘千仞的追蹤，誤入瑛姑住的污泥湖沼，離開前，黃蓉用竹杖在地下細沙上寫了三道算題。其中一道
11、為鬼谷算題：今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？黃蓉對郭靖說：這三道題目，半年之內她必算不出來，叫她的頭髮全都白了。此一問題，便是後來被西方數學家稱為中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）之一特例。最早出現在孫子算經中（因此在中國亦稱為孫子定理），後來流傳於民間以不同的故事出現，如韓信點兵，後來又有一些詩或口訣，給出此題之解，如：三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。二、同餘的概念是高斯（Gauss，1777-1855）在他於西元1801年出版 的算學研究（Disquisitiones Arithmetic
12、a）一書中最先引進。,數學文本的故事,普林頓322的泥版上（如右圖），據依格包爾（otto neuguebauer）的考證，巴比倫人還列舉出畢達格拉斯數組，近幾十年來依格包爾（otto neuguebauer）詮釋了許多楔形文字泥版，對巴比倫的數學給出比過去更高的評價。,數學發現的故事,教授畢氏定理時，可以談談畢達哥拉斯（Pythagoras，580500B.C.）的生平，及其所成立的畢達哥拉斯學派，其宗旨是萬物皆數，在幾何、數論、天文、音樂等，都有很卓越的研究成果。此學派教規甚嚴，不可洩漏教派之機密。但該學派卻發現邊長為1的正方形之對角線長度既非整數，也不是整數比所能表示，嚴重觸犯了畢氏學派
13、的教條，相傳希伯索斯洩漏此一情形，而被其他信徒丟入海中處死，亦有數學史家認為畢是學派是研究其精神徽章五星圖時，發現與其教義矛盾的現象。畢氏定理又有百牛定理之稱，相傳畢達哥拉斯發現了直角三角形基本定律，後曾舉辦一次盛大的牛祭。從此以後，每當新的定理被發現所有的牛都怕的瑟瑟發抖。,數學發現的故事,勾股定理及其歷史：勾股定理被發現至今大約有三千多年的歷史，巴比倫、埃及都先後應用過它，在中國方面【周髀算經】（約公元前一百多年）記載，商高（約公元前1120年）答周公曰：勾廣三，股修四，徑隅五這裡勾指直角三角形的兩直角邊中較短者，股是指另一直角邊，徑則為斜邊。另一位陳子（公元前七六世紀）與榮方討論測量問題時的對話：若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並以開方除之，得邪至日。,數學發現的故事,圓面積之證明：好的證明是既發現又證明,數學發現的故事,數學發現的故事,割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣。 劉徽,數學家的故事,數學家的故事,在課堂上可多提供一些資訊給學生，讓他們感染大師的風範，大師之所以成為大師，包含了天賦、人文素養、毅力等等，說不定透過這種連結，在日後能激發更多的阿基米得、愛因斯坦、劉徽。再者，一些趣聞可減少學生對數學一些硬梆梆的成見。,休息一下！,To be countinue.,
