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1、数学命题及其教学,一、判断与命题概述,1 判断的意义及其结构,判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。,即，判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否定的一种思维形式。,例如，“是无理数”、“0是自然数”、“我是学生”等都是表示判断的语句。, 什么是判断？, 按判断的组成形式，可分为简单判断和复合判断。,（2）判断有真假之分。, 判断的两个基本特征,（1）“要有所断定”，否则不称其为判断。,如，“0是自然数吗？”，“ x10”都不是判断。, 判断可按不同的标准进行分类,对于简单判断，又可按其内容分为性质判断和关系判断； 对于复合判断，还可按其复合形式分为负判断、联言判断、选言判断和假言判断。, 按
2、判断的质来分，判断可分为肯定判断和否定判断。, 按判断的量来分，则可分为全称判断和特称判断。, 数学中常用的四种判断形式,全称肯定判断(A)，其逻辑形式是：“所有的S都是P”，简记为SAP；,全称否定判断（E），其逻辑形式是：“所有的S都不是P”，简记为SEP；,特称肯定判断（I），其逻辑形式是：“有些S是P”，简记为SIP；,特称否定判断（O），其逻辑形式是：“有些S不是P”，简记为SOP；, 判断的结构,2 命题及其基本运算,表述数学判断的语句则称为数学命题,(判断) = (量项) + (主项) + (联项) + (谓项), 什么是命题？,表述判断的语句称为命题 。,由于判断有真假之分,
3、故命题应具有可判性、有真假之分。, 真命题与假命题,如“,”和“,”，由于含有变量,x，故无法判断其真假，这样的语句称为开句，不是命题, 但若当 x 赋值后, 则它都可成为数学命题。,就是将命题符号化、形式化，将若干命题用逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键是逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻辑联结。, 命题的运算（复合）, 命题的基本运算,否定(非)、合取(与、且、联言命题)、析取 (或、选言命题)、蕴涵、等价。,（1）否定（非 “”）,给一个命题p，它与“”构成复合命题“p”，称为命题p的否定，也称为负命题。,（2）合取（与、且 “”）,给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来
4、，构成复合命题“pq”, 称为命题p,q的合取式，也称为联言命题。,（3）析取（或 “”）,给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来，构成复合命题“pq”, 称为命题p,q的析取式，也称为选言命题。,（4）蕴涵(若则、如果那么“”),给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来，构成复合命题“p q”, 称为命题p,q的蕴含式，也称为假言命题。其中p叫做前件(或条件), q叫做后件(或结论)。,（5）等价（当且仅当）,给定两个命题p,q, 用连接词“”联结起来，构成复合命题“p q”, 称为命题p,q的等值式，也称为充要条件假言命题。,例1 求复合命题(pq) p的真值。,例2 求复合命题p q的
5、真值。,复合命题的真值, 常用的逻辑等价式：,若两个命题的真值完全相同，则这两个命题称为等假命题（或逻辑等价）.记着“”.,逻辑等价的两个命题，在推理证明时可以互相替换.,常用的逻辑等价式有：,幂等律：ppp，pp p.,交换律：ppqp， ppqp.,结合律：(pq)rp(qr ), (pq)rp( qr),分配律：p(qr) (pq)(pr), p(qr) (pq)(pr).,吸收律：p(pq)p, p(pq)p.,De Morgun律：(pq)pq, (pq)pq .,双否律：(p)p.,幺元律：p0p, p1p.,极元律：p11, p00.,互补律：pp1, pp0.,利用逻辑等价可以
6、将复杂的命题简单化，也可推证两个命题的等价关系.,3 命题运算应用举例,（1）反映逻辑思维的基本规律,同一律。在同一思维过程中，每一思想都必须是严格确定的和同一的。它的公式是AA ,表示成命题形式AA。由真值表知它是恒真命题.,同一律要求：思维对象应保持同一；表示同一事物的概念应保持同一.,矛盾律。在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想不能同真。它的公式是(AA)(A与非A不能同真)。由真值表可知它是一个恒真命题。,矛盾律是同一律的引申，它是用否定形式来表达同一律的内容. 同一律说：p是p；矛盾律说：p不是p.,排中律。在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想必有一真。它的公式是
7、AA(A或非A)，易证它是一恒真命题。,排中律要求思维要有明确性，避免模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该明确地表示肯定或否定，不能模棱两可，不可含糊不清.,矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证明某一命题的真实性有困难时，根据排中律，只要证明这一命题的负命题是假的即可.,（2）命题的四种形式及关系,原命题：pq 逆命题：q p (换位) 否命题：pq (换质) 逆否命题：q p,从真值表容易证明, 原命题与其逆否命题等价，逆命题与否命题等价。即：,pqqp.,以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：,pqpqq p(q)p qp,命
8、题的四种形式,原命题：若P,则Q.,逆命题：若P,则Q.,逆否命题：若P,则Q.,否命题：若P,则Q.,(互逆),(互逆),互否,互否,互逆否,（3）命题的制作,逆命题的制作, 直接换位得逆命题, 将一个复合命题中相同个数的条件、结论(不是全部)交换位置得逆命题“偏逆命题”,例如：命题“若a0, b0,则ab0”有两个条件和一个结论, 因此, 它有一个逆命题“若ab0, 则a0, b0”和两个偏逆命题“若ab0, b0,则a0”及“若ab0, a0,则b0”。, 当命题的条件、结论中含有选言判断, 在制作逆命题时, 选言判断只能当作一个整体, 不能再加分解。,例如, 命题“若a0 或a0或a0
9、” 而没有偏逆命题。, 逆否命题的制作, 简单命题的逆否命题的制作, 只需将条件、结论先否定, 再换位即可。,（4）命题的条件,充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件。, 复合命题的逆否命题制作，则需通过命题运算才能得到。,例如, 求命题“若a=0或b=0, 则ab=0”的逆否命题。应首先将命题表述为(a=0)(b=0)(ab=0)；然后进行命题运算：,(ab=0)(a=0)(b=0)(ab0)(a0)(b0),最后, 得逆否命题“若ab0, 则a=0且b=0”。,若命题pq真, 则称p是q成立的充分条件；,若命题qp真, 则称p是q成立的必要条件；,若命题pq与pq同真, 则称p
10、是q成立的充要条件(既充分又必要条件)；,若命题pq与pq同假, 则称p是q成立的既不充分又不必要条件。,分析上表：,当pq真时, p真足可保证q也真(不排除p假时q还可真), 因而p是q的充分条件；,当qp真时, 没有p真就不会有q真(不排除有了p真还可q假), 因而p是q的必要条件；,当pq与qp同真时, p与q同真假, 因而p与q互为充要条件；,由此, 命题条件与结论间的逻辑关系可分为四种情形：p是q的充分而非必要条件(表中的)；p是q的必要而非充分条件(表中的)； p是q的充要条件(表中的) ；p是q成立的既不充分又不必要条件。,（5）命题的合并,同一数学对象诸性质定理的合并,同一数学
11、对象诸判定定理的合并,例如，设p：两直线平行, ：同位角相等, ：内错角相等。则命题p , p 可合并为：,(p )(p )(p )(p ),p( ),p( ),即：两直线平行，则同位角且内错角相等。,应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形式简单的复合命题，称为命题的合并.,在上例中，两判定定理“若同位角相等，则两直线平行”、“若内错角相等，则两直线平行”，可合并为：,这就是：两直线被第三直线所截，若同位角或内错角相等，则这两直线平行。,（6）对含有量词的命题否定, 命题中的量词常用两个：,表示全体的全称量词,表示部分的特称量词, 含有量词命题的否定，有下述关系成立：, (p(x), x(p
12、(x) x(p(x).,二、数学命题的教学,数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等，都是数学命题. 数学命题是数学知识的主体，它与概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概念由命题揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题是经过推理获得的；命题是证明的的重要依据，而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认.,数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件和结论，掌握证明命题的推理过程和证明方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题. 并在此基础上，使学生弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系.,1 重视数学命题引入的教学,（1）发现式引入，即通过实践去发现,（2）过渡性引入,2 重视数学命题证明与推导的教学,3 重视数学命题应用的教学,4 重视建立数学命题系统知识的教学,（五）数学命题教学基本要求,思考题：,什么是判断？什么是命题？常用的逻辑联结词有哪些？什么是逻辑等价？指出命题四种形式的相互关系.写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线”的逆命题和逆否命题.6.何谓充分条件？何谓必要条件？,
