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1、导数,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,最优化问题,第一章 导数及其应用复习,本章知识结构,1.函数的平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:(,2.函数的瞬时变化率,导数,分母是分子中两个自变量的差.,可将分母的系数直接乘过去,-1,2,3.导数的概念：,1导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若极限 存
2、在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y|,2导数的几何意义： 函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0)处的切线的斜率，所以曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 yy0=f /(x0)(xx0),3导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s/ (t),例2已经曲线C：y=x3x+2和点A(1,2) 求在点A处的切线方程？,解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=
3、2 所求的切线方程为： y2=2(x1), 即 y=2x,变式：求过点A的切线方程？,例2已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2),求在点A处的切线方程？,解：设切点为P（x0，x03x0+2），,切线方程为 y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0，,当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k= f/(x0)= 3 x021，,当x0= 时，所求的切线方程为： y2= (x1),即x+4y9=0,点评:在A点的切线,A为切
4、点 过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线,所求曲线的切线方程为y=2x与,（4）对数函数的导数:,（5）指数函数的导数:,（3）三角函数 ：,（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；,（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1,4公式.基本初等函数的导数公式,乘以lna,(3)(tanx)/ =?,常用的还有:,axlna,axa-1,3xln3,3x2,.导数的运算法则,（1）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/.,（3）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。,（2）函数的积的导数 (uv)/u/v+uv/.,特例:(Cu)/ =
5、Cu/ (C为常数),1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内,5.导数与单调性,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常函数.,返回,极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.,6.极值点与极值,注意:1,极值点 指 x的值. 极值 指 y 的值.,4.极大值不一定大于极小值.,大,小,大,小,必要不充分,1存在性定理：在闭区间a，b上连续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 2求最大（小）值的方法：函数f
6、(x)在闭区间a，b上最值求法： 求出f(x)在(a，b)内的极值； 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.,7.函数的最大（小）值与导数,最值与极值的区别与联系,1.最值是整个定义域内最大(小)值,而极值只是在极 值点附近最大(小)的值.,2.极值可以有多个,最值若有则只能有一个.,3.极值只能在区间内取得,而最值可以在区间端点取得.,4.有极值未必有最值,有最值也未必有极值.,5.极值有可能是最值,但最值只要不在端点处必定是极值.,8.复合函数的导数:,复合函数y=f(g(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:,例如: 求y=(2x+3)2 的导数,y=u2 , u=2x+3,y/x =y/u .u/x =2u.2=2(2x+3)=4x+6,复合函数求导,y=2x-1,说明:,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,3.注意在某一区间内 f / (x) ()0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.,2.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x) 时在闭区间a,b上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间a,b上.,
