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1、导数的概念,3.1 导数的概念,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限
2、.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=
3、3x-4.,2.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss(t)(表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0,在时刻t0 +t 的位置是s(t0+ t)=OA1,则从t0 到 t0 +t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内，物体的平均速度为:,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+t这段时间内，当 t0 时的平均速度:,
4、例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度,这里t取值 范围为1; (2)t=2时刻
5、的瞬时速度.,3.导数的概念,从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.,是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在
6、点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数yf (x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf (x)在区间(a,b)内可导.这时,对
7、每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a,b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f (x)在区间(a,b)内的导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,
8、 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例1:判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,Pn, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数.,答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题.,(2
9、)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于,答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题.,(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要 函数在x0处连续,则 就必存在.,5.例题选讲,答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但 它在x=0处的导数不存在.,(4)设 是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3 三点处的导数均存在.若 ,则必有,答: ,由于f(x)的导函 数 未必是单调增函数.因此, 不一定成立,例如f(x)=x3,则 显然有 故是假命题.,说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处 切线的斜率、瞬时速
10、度、连续与可导等概念,还要 把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证, 而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.,例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.,练习1:设函数f(x)在
11、点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.,从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.,注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.,练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有, 求出来,若没有,说明理由.,故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状
12、态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作
13、f(x)的导函数。,（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,d.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x) 的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定 可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,e.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解
14、导 数概念。,85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段
15、。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有
16、比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 10
17、1.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被
18、屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试
19、着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天
20、是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有
21、两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金,
