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1、1,函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题.,3.1.0 最佳逼近,若 (次数不超过n次多项式),使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式.,若 则称相应的 为最佳逼近函数.,通常将范数 取为 或,2,若取 ，即,（1.18）,则称 是 在 上的最优一致逼近多项式.,求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.,3,若取 ，即,则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式.,（1.19）,若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使,则称 为 的最小二乘拟合.,（1.20）,4,定义5,（2.1）,则称 与 在 上带权 正交.,5,若函数族 满足关系,则称 是 上带权 的正交函数族.,若 ，
2、则称之为标准正交函数族.,（2.2）,三角函数族 ,就是在区间 上的正交函数族.,6,利用上述递推公式就可推出,勒让德多项式 P59-61,7,切比雪夫多项式 P61-64,当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.,它可表示为,（2.10）,若令 ，,则,8,3.3.1 最佳平方逼近及其计算,对 及 中的一个子集,若存在 ，使,（3.1）,则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数.,9,由（3.1）可知该问题等价于求多元函数,（3.2）,的最小值.,是关于 的多元函数，,即,利用多元函数求极值的必要条件,10,于是有,（3.3）,(3.3)
3、式是关于 的线性方程组,称为法方程.,由于 线性无关，故,于是方程组（3.3）有唯一解,从而得到,11,此时,12,记,（3.7）,的解 即为所求.,则,若用 表示 对应的矩阵，,（3.6）,称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.,13,例 6,设,解,得方程组,利用（3.7），得,14,解之,故,平方误差,最大误差,15,3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近,设,若 是满足条件(2.2)的正交函数族，,而,故法方程（3.3）的系数矩阵,则,16,用 做基,求最佳平方逼近多项式,当n很大时,系数矩阵(3.6)是高度病态,因此直接求解法解方程是相当困难的,通常采用正交多项式做基.,用正交函数组去平方逼近函数f(x).,17,求 在 上用Legendre多项式作f(x)的三次最佳平方逼近多项式.,例7,解,先计算,18,由(3.14) 得,代入(3.13) 得三次最佳平方逼近多项式,19,最大误差,20,练习：,
