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1、第7章数学形态学在图像处理中的应用,7.1 数学形态学简介,7.1 数学形态学简介,7.1 数学形态学简介,集合论概念 在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合， 对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为aA，否则，记作 。,元素与集合间的关系,1. 基本符号和定义,7.1 数学形态学简介,两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集， 记为AB，即AB=aaA且aB。 两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为AB，即AB=aaA或aB。,集合的交集与并集,集合论概念,集合论概念,7.1 数学形态学简介,3.平移和对称集
2、(1)平移设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为Abab| aA，即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b。,7.1 数学形态学简介,3.平移和对称集 （2）对称设有一幅图像B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x，y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合 ，称为B的对称集，记作Bv，也称为反射或映像，记为 ,7.1 数学形态学简介,7.1 数学形态学简介,7.1 数学形态学简介,结构元素,7.2 图像处理和数学形态学,7.2 图像处理和数学形态学,7.3 基本概念和
3、运算,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这是叫腐蚀的原因 腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点和根据尺寸从二值图像中消除不相关的细节。,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,腐蚀示例,7.3 基本概念和运算,腐蚀示例,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在阴影部分的点a，Bva击中X，所以X被B膨胀的结果就是阴影部分。就象X膨胀了一圈似的，
4、这就是为什么叫膨胀的原因。,膨胀示例,7.3 基本概念和运算,膨胀示例,7.3 基本概念和运算,膨胀示例,7.3 基本概念和运算,膨胀的作用是把图像区域周围的背景点合并到图像区域中，其结果是使图像区域的面积增大相应数量的点。膨胀对填补分割后物体中的空洞很有效。,膨胀的作用,7.3 基本概念和运算,(a)原始图像 (b)4邻域膨胀 (c)8邻域膨胀 膨胀处理效果图,膨胀示例,7.3 基本概念和运算,(a)带有间断字符的低分辨率示例文本（放大图），(b)结构元素，(c)通过(b)对(a)膨胀。断线被连接起来了。,膨胀示例,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,结合律很重要，因为计算膨胀所
5、需要的时间正比于结构元素中的非零像素的个数。例如，考虑一个结构元素大小为5*5，且其元素为1的数组膨胀：,这个结构元素可分解为一个值为l的5元素行矩阵和一个值为l的五元素列矩阵。,4. 结构元素的分解,)开运算先腐蚀后膨胀的运算称为开运算。利用结构元素S对图像X做开运算，用 表示，定义为 开运算可以用以下的等价方程表示为 开运算可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的“并”得到。即对每一个可填入做标记，计算结构元素平移到每一个标记位置时的“并”，便可得到开运算结果。,5. 开运算与闭运算,7.3 基本概念和运算,开运算示例,7.3 基本概念和运算,二值图像开运算示意图,开运算示例,7.
6、3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,闭运算沿图像的外边缘转动圆盘。闭运算对图像的外部作滤波，仅仅磨光了凸向图像内部的尖角。,闭运算示例,7.3 基本概念和运算,7.3 基本概念和运算,7.4 图像处理基本形态学算法,7.4.1 腐蚀与膨胀,其效果相当于半圆形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。,7.4.1 腐蚀与膨胀,(a)一个简单函数，(b)高度A的结构元素，(c)使用(b
7、)中的结构元素对f进行腐蚀,7.4.1 腐蚀与膨胀,采用了一个扁平结构元素对上图的函数作灰值腐蚀。扁平结构元素是一种在其定义域上取常数的结构元素。注意这种结构元素产生的滤波效果。 从上图可以看到灰度值腐蚀与二值腐蚀之间的一个基本关系：被灰度值腐蚀的定义域等于利用结构元素的定义域作为结构元素，对函数的定义域做二值腐蚀所得到的结果。,7.4.1 腐蚀与膨胀,7.4.1 腐蚀与膨胀,7.4.1 腐蚀与膨胀,7.4.2 开运算与闭运算,7.4.2 开运算与闭运算,7.4.2 开运算与闭运算,7.4.2 开运算与闭运算,7.4.2 开运算与闭运算,7.5 形态学的应用,1. 边界提取 集合A的边界表示为
8、(A)，它可以通过先由适当的结构元素B对A腐蚀，而后用A减去腐蚀得到。即：,7.5.1 二值形态学算法,7.5.1 二值形态学算法,2. 区域填充 一种基于集合膨胀、求补和取交集的区域填充的简单算法。图中，A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8字形的连接边界的区域。从边界内的一点p开始，用1填充整个区域。 假定所有的非边界元素（背景）均标记为0，则以将值1赋给p点开始。下列过程将整个区域用1填充： 这里X0=p，B是图中(C)所示的结构元素。如果Xk=Xk-1，则算法在迭代的第k步结束。Xk和A的并集包含被填充的集合和它的边界。,7.5.1 二值形态学算法,abcdefghi,(a）集合
9、A，(b)A的补集，(c)结构元素B，(d)边界内的起始点，(e)(h)运算的各个步骤，(i)最后的结果(a)和(h)的并集,7.5.1 二值形态学算法,(a)二值图像(区域内部的白色点表示区域填充算法的起点)，(b)区域填充的结果，(c)填充所有区域的结果,7.5.1 二值形态学算法,3. 连通分量的提取 在二值图像中提取连通分量是许多自动图像分析应用中所关注的问题。令Y表示一个包含于集合A中的连通分量，并假设Y中的一点p是已知的。则下面的迭代表达式可得到Y中的所有元素。 这里X0=p，B是一个适当的结构元素。如果Xk=Xk-1，则算法收敛，并且令Y=Xk。,7.5.1 二值形态学算法,(a
10、)显示了起始点p的集合A(所有阴影点值为1，但与p的表示不同，以说明这些点还没有被算法找到)，(b)结构元素，(c)第一次迭代的结果，(d)第2步结果，(e)最终结果,7.5.1 二值形态学算法,7.5.2 灰度形态学应用,形态学滤波示例,形态学滤波示例,7.5.2 灰度形态学应用,(a)原始图像 (b)形态学梯度,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,3. 纹理分割,(a)原图像 (b)显示不同纹理区域间边界的图像,3.纹理分割,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,7.5.2 灰度形态学应用,
