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1、第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合,1.集合的含义与表示方法(1)集合：含义：研究对象叫做_，一些_组成的总体叫做集合;元素的性质：_、_、_.(2)元素与集合的关系：属于，记为_；不属于，记为_.,元素,元素,确定性,无序性,互异性,(3)常见数集的符号：(4)集合的表示方法:_；_；_.,N,N*或N+,Z,Q,R,列举法,描述法,图示法,2.集合间的基本关系,相同,A B或B A,A B或B A,任何集合,任何非空集合,3.集合的基本运算,AB,AB,x|xA或xB,x|xA且xB,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)已知集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,
2、C=(x,y)|y=x2，则A=B=C.( )(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( ),(3)AB= 的充要条件是A=B= .( )(4)AB=AAB.( )(5)AB=ABA.( )(6) (AB)=( A)( B).( ),【解析】(1)错误集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-,+)；集合B是函数y=x2的值域，即B=0,+)；集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等,(2)正确空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合a1的子集个数为2个，即 ,a1；
3、含有2个元素的集合a1,a2的子集个数为4个，即 ,a1,a2,a1,a2归纳可得含有n个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2,(3)错误AB= 时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定是A=B= (4)正确当AB时，显然AB=A；当AB=A时，对任意xA，得xAB，得xB，即xAxB，故AB(5)正确当BA时，显然AB=A；当AB=A时，对任意xB，则xAB，得xA，即xBxA，即BA,(6)正确设x (AB)，则x (AB)，得x A且x B，即x A且x B，即x( A)( B)，即 (AB)( A)( B)；反之，当x( A)( B)时，
4、得x A且x B，,得x A且x B，得x (AB)，得x (AB)，即 (AB) ( A)( B)根据集合相等的定义得 (AB)=( A)( B)答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.已知集合A=-1,0,1，B=x|x1，则AB=( )(A)-1 (B)0 (C)-1,0 (D)-1,0,1【解析】选C因为-1和0都小于1，所以AB=-1,0.,2.已知集合P=-1，m，Q=x|-1x ，若PQ ，则整数m为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】选A.根据集合元素的互异性得m-1，在PQ 的情况下整数m的值只能是0,3.若集合P=x|x1,Q=x|x-1，
5、则( )(A)PQ (B)QP(C) PQ (D)Q P【解析】选C. P=x|x1, PQ.,4.设全集U=xZ|-1x3，A=xZ|-1x3，B=xZ|x2-x-20，则( A)B=( )(A)-1 (B)-1,2(C)x|-1x2 (D)x|-1x2【解析】选A.全集U=-1,0,1,2,3，集合A=0,1，2，集合B=-1,0,1,2，所以( A)B=-1,3-1,0,1,2=-1.,5.已知集合A=-1,0,a，B=x|0 x1，若AB ，则实数a的取值范围是( )(A)1 (B)(-,0)(C)(1,+) (D)(0,1)【解析】选D.如图，显然必须AB=a，则0a1,6.设集合A
6、=x|x2+2x-80,B=x|x1，则图中阴影部分表示的集合为( )(A)x|x1 (B)x|-4x2(C)x|-8x1 (D)x|1x2,【解析】选D.阴影部分是A B.集合A=x|-4x2， B=x|x1，所以A B=x|1x2,考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012新课标全国卷)已知集合A=1,2,3,4,5, B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10,(2)已知A=a+2,(a+1)2,a2+3a+3，若1A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,【思路点拨】(1)集
7、合B中的元素是满足xA,yA,x-yA的有序实数对，根据要求分类列举求解(2)据1A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数,【规范解答】(1)选D.方法一：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10,方法二：在平面直角坐标系中列出x,yA的点，其中在直线x-y=a(aA)上的点的个数即为集合B中
8、元素的个数如图，容易计算其中是集合B的元素的共有10个,(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A=1,0,1，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A=2,1,3或A=0,1,1，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A=1,0,1或A=0,1,1，都与集合元素的互异性相矛盾综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素,【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-yA的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理
9、当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有55=25个元素.,【拓展提升】1.集合与元素的关系集合与元素之间只能有“属于”“不属于”两种，二者必居其一且只能居其一，即集合元素的确定性,2.集合的含义,【变式训练】定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1,2,B=0,2,则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B=0，2，4，故集合A*B中所有元素之和为6.,考向 2 集合间的基本关系 【典例2】(1)(2014三明模拟)已知集合
10、A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0 x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4(2)若集合A=1,a,b,B=a,a2,ab,且AB=AB,则实数a的取值集合是.,【思路点拨】(1)求出A,B中的元素,由ACB,知集合C的个数由B中有A中没有的元素个数决定.(2)AB=ABA=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根据集合元素的性质加以检验得出结论,【规范解答】(1)选D.A=x|x2-3x+2=0,xR=1,2,B=x|0 x5,xN=1,2,3,4,由ACB,方法一:则C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以
11、看作是集合3,4的子集的个数,有22=4个.方法二:则C可能为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共4个.,(2)方法一：因为AB=AB,所以A=B，所以1,b=a2,ab，所以解得反代回A,B集合知，只有 适合，所以 即实数a的取值集合是-1.,方法二:因为AB=AB,所以A=B，所以1，b=a2,ab.由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别等于另外两个数的和与积，故1,b=a2,ab成立的充要条件是解得反代回A，B集合知，只有 适合.即实数a的取值集合是-1.答案：-1,【拓展提升】集合间的基本关系的几个结论(1)AB=ABA.(2)AB=AAB.(3)AB=
12、ABA=B,【提醒】解决两个集合之间的包含关系时，注意空集的情况，如AB，无论集合B如何，集合A都有为空集的可能,【变式训练】(1)已知M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0，若MN=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选DMN=NNM当a=0时，N= ，符合要求，当a0时，只要 即a=1即可,(2)设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy，若A=B，则实数对(x,y)的取值集合是_.【解析】由A=B，且0B，故集合B中的元素x20,xy0，故x0,y0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，x,y=x2,xy，答案
13、：(1,-1),(-1,1),考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012福建高考)已知集合M=1，2，3，4，N=-2，2，下列结论成立的是( )(A)NM (B)MN=M(C)MN=N (D)MN=2,(2)(2012辽宁高考)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，则( A)( B)为( )(A)5,8 (B)7,9(C)0,1,3 (D)2,4,6,【思路点拨】(1)根据集合M，N中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn图解决,【规范解答】(1)选D.
14、显然MN=2.(2)选B.方法一：因为全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，所以 A=2,4,6,7,9， B=0,1,3,7,9,所以( A)( B)=7,9故选B.,方法二：集合( A)( B)= (AB)=7,9如图所示：,【拓展提升】1.集合的运算律(1)交换律：AB=BA,AB=BA.(2)结合律：(AB)C=A(BC)；(AB)C=A(BC).(3)分配律：A(BC)=(AB)(AC)；A(BC)=(AB)(AC).(4)狄摩根定律: (AB)=( A)( B)； (AB)=( A)( B).,2.集合的基本运算的关
15、注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、Venn图等.,【变式训练】(1)若集合A=x| ，则 =( )(A)(-,0( +) (B)( +)(C)(-,0 +) (D) +),【解析】选A.方法一：由不等式 得由此得故方法二： 根据补集思想， x| =(-,0( +).,(2)已知集合M=y|y=2x，集合N=x|y=lg(2x-x2)，则MN=( )(A)(0,2) (B)(2,+)(C)0,+) (D)(-,0)(2,+),【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x20，解得N=(0,2)，所以MN=(0,2).,
