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1、,21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,张集一中 陈建河,2.求根公式,问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 x2与系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2,2 1,3,2,-1 3,2,-3,1 4,5,4,-2,x1+ x2，x1x2与系数有什么规律?,猜想： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a0）的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.,任何一个一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1 + X2=
2、 , X1 X2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,一
3、、直接运用根与系数的关系,例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.,知识源于悟,在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写.,解：,我能行1,原方程可化为：,二次项不是1，可以先把它化为1,原方程可化为：,想一想，还有其他方法吗？,还可以把 代入方程的两边，求出,解：,又,我能行2,解：,我能行3,二、求关于两根的对称式或代数式的值,例2、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.,关于两根几种常见的求值,小结,一元二次方程根与系数的关系？,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,再见,三、构造新方程,
4、例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.变式：且二次项系数为5,三、构造新方程,例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是方程（1）的两根,的平方.,求关于y的方程.,的倒数.,的相反数.,比,都大2.,例5、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？,三、构造新方程,练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为_,三、构造新方程,x2-5x+6
5、=0,四、求方程中的待定系数,例6、如果1是方程的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,练习：已知3是方程 的一根，求m及另一根,例7、方程 的两根同为正数，求p、q的取值范围.,四、求方程中的待定系数,变式:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,四、求方程中的待定系数,一正根，一负根,0X1X20,两个正根,0X1X20X1+X20,两个负根,0X1X20X1+X20,例8、 已知方程的两 个实数根是且 求k的值。,四、求方程中的待定系数,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,小结,一元二次方程根与系数的关系？,
6、注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,再见,已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2y=1,或,1y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:,求得,两数为2,*已知两个数的和与积，求两数,*求未知系数的取值范围,*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?,分析:,(1)列出的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)0,解:(1)=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+360 方
7、程总有两个不相等的实数根,(2)由题意得:,解得:,当 时方程的一根大于1,另一根小于1,*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?*2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.,*题9 在ABC中a,b,c分别为A, B,C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求ABC的面积.,五综合,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
